Главная

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №554

(Задача−исследование.)
Решите уравнения:
а)
x 2 5 x + 6 = 0
и
6 x 2 5 x + 1 = 0
;
б)
2 x 2 13 x + 6 = 0
и
6 x 2 13 x + 2 = 0
.
1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая − задание б).
2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений
a x 2 + b x + c = 0
и
c x 2 + b x + a = 0
.
3) Докажите, что ваше предположение верно.

Решение 1

а)
x 2 5 x + 6 = 0

D = 5 2 4 1 6 = 25 24 = 1

x = 5 ± 1 2

x 1 = 5 1 2 = 4 2 = 2

x 2 = 5 + 1 2 = 6 2 = 3

Ответ:
x 1 = 2
;
x 2 = 3
.
 
6 x 2 5 x + 1 = 0

D = 5 2 4 1 6 = 25 24 = 1

x = 5 ± 1 12

x 1 = 5 1 12 = 4 12 = 1 3

x 2 = 5 + 1 12 = 6 12 = 1 2

Ответ:
x 1 = 1 3
;
x 2 = 1 2
.
 
б)
2 x 2 13 x + 6 = 0

D = 13 2 4 2 6 = 169 44 = 121

x = 13 ± 121 4

x 1 = 13 11 4 = 2 4 = 1 2

x 2 = 13 + 11 4 = 24 4 = 6

Ответ:
x 1 = 1 2
;
x 2 = 6
.
 
6 x 2 13 x + 2 = 0

D = 13 2 4 2 6 = 169 44 = 121

x = 13 ± 121 12

x 1 = 13 11 12 = 2 12 = 1 6

x 2 = 13 + 11 12 = 24 12 = 2

Ответ:
x 1 = 1 6
;
x 2 = 2
.

Решение 2

Корни уравнений
a x 2 + b x + c = 0
и
c x 2 + b x + a = 0
образуют две взаимно обратные пары.

Решение 3

Гипотеза: корни уравнений
a x 2 + b x + c = 0
и
c x 2 + b x + a = 0
образуют две взаимно обратные пары.
Дискриминант у обоих уравнение одинаковый:
D = b 2 4 a c

Корни первого уравнения:
x 1 , 2 = b ± D 2 a

Корни второго уравнения:
x 3 , 4 = b ± D 2 c

Найдем произведение:
x 1 x 4 = b D 2 a b + D 2 c = ( D + b ) ( D b ) 4 a c = D b 2 4 a c = b 2 D 4 a c = b 2 ( b 2 4 a c ) 4 a c = 4 a c 4 a c = 1

 
x 2 x 3 = b + D 2 a b D 2 c = ( D b ) ( D + b ) 4 a c = D b 2 4 a c = b 2 D 4 a c = b 2 ( b 2 4 a c ) 4 a c = 4 a c 4 a c = 1

 
Таким образом, гипотеза верна. Пары корней
x 1 ; x 2
и
x 2 ; x 3
− взаимно обратны.