а)
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$D = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1$
$x = \frac{5 ± \sqrt{1}}{2}$
$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ:
$x_1 = 2$;
$x_2 = 3$.
 
$6x^2 - 5x + 1 = 0$
$D = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1$
$x = \frac{5 ± \sqrt{1}}{12}$
$x_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Ответ:
$x_1 = \frac{1}{3}$;
$x_2 = \frac{1}{2}$.
 
б)
$2x^2 - 13x + 6 = 0$
$D = 13^2 - 4 * 2 * 6 = 169 - 44 = 121$
$x = \frac{13 ± \sqrt{121}}{4}$
$x_1 = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$
Ответ:
$x_1 = \frac{1}{2}$;
$x_2 = 6$.
 
$6x^2 - 13x + 2 = 0$
$D = 13^2 - 4 * 2 * 6 = 169 - 44 = 121$
$x = \frac{13 ± \sqrt{121}}{12}$
$x_1 = \frac{13 - 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{13 + 11}{12} = \frac{24}{12} = 2$
Ответ:
$x_1 = \frac{1}{6}$;
$x_2 = 2$.

Корни уравнений $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$ образуют две взаимно обратные пары.

Гипотеза: корни уравнений $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$ образуют две взаимно обратные пары.
Дискриминант у обоих уравнение одинаковый:
$D = b^2 - 4ac$
Корни первого уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a}$
Корни второго уравнения:
$x_{3,4} = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2c}$
Найдем произведение:
$x_{1}x_{4} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} * \frac{-b + \sqrt{D}}{2c} = -\frac{(\sqrt{D} + b)(\sqrt{D} - b)}{4ac} = -\frac{D - b^2}{4ac} = \frac{b^2 - D}{4ac} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4ac} = \frac{4ac}{4ac} = 1$
 
$x_{2}x_{3} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} * \frac{-b - \sqrt{D}}{2c} = -\frac{(\sqrt{D} - b)(\sqrt{D} + b)}{4ac} = -\frac{D - b^2}{4ac} = \frac{b^2 - D}{4ac} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4ac} = \frac{4ac}{4ac} = 1$
 
Таким образом, гипотеза верна. Пары корней ${x_1;x_2}$ и ${x_2;x_3}$ − взаимно обратны.