Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №45

(Задача−исследование.) Верно ли, что при всех значениях a, отличных от −2 и 2, значение дроби
$\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4}$
является отрицательным числом?
1) Выберите произвольное значение a, отличное от −2 и 2, и сравните с нулем соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

Решение

1) Пусть a = 0. Тогда
$\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3} < 0$

2) Сокращение дроби упростить анализ выражения.
3) Сокращаем с использованием теоремы Виета:
$\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} = -\frac{a^2 - 4}{a^4 - a^2 - 12} = -\frac{a^2 - 4}{(a^4 - 4)(a^2 + 3)} = -\frac{1}{a^2 + 3} < 0$

Так как знаменатель дроби
$a^2 + 3 ≥ 3$
всегда положителен, сама дробь всегда отрицательна.
В точках a = 2 и a = −2 знаменатель равен 0 и дробь не имеет смысла.
Итак, при всех a кроме a ≠ 2 и a ≠ −2, дробь отрицательна.