(Задача−исследование.) Верно ли, что при всех значениях a, отличных от −2 и 2, значение дроби $\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4}$ является отрицательным числом?
1) Выберите произвольное значение a, отличное от −2 и 2, и сравните с нулем соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.
1) Пусть a = 0. Тогда
$\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3} < 0$
2) Сокращение дроби упростить анализ выражения.
3) Сокращаем с использованием теоремы Виета:
$\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} = -\frac{a^2 - 4}{a^4 - a^2 - 12} = -\frac{a^2 - 4}{(a^4 - 4)(a^2 + 3)} = -\frac{1}{a^2 + 3} < 0$
Так как знаменатель дроби $a^2 + 3 ≥ 3$ всегда положителен, сама дробь всегда отрицательна.
В точках a = 2 и a = −2 знаменатель равен 0 и дробь не имеет смысла.
Итак, при всех a кроме a ≠ 2 и a ≠ −2, дробь отрицательна.
Пожауйста, оцените решение
