(Для работы в парах.)
Площадь треугольника S $см^2$ со сторонами a см, b см и c см можно вычислить по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$,
где p − полупериметр треугольника.
Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:
а) 12 см, 16 см, 24 см;
б) 18 см, 22 см, 26 см.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните вычисления.
2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.
а) 12 см, 16 см, 24 см.
$p = \frac{12 + 16 + 24}{2} = 6 + 8 + 12 = 26$ (см);
$S = \sqrt{26(26 - 12)(26 - 16)(26 - 24)} = \sqrt{26 * 14 * 10 * 2} ≈ 85,32 (см^2)$
б) 18 см, 22 см, 26 см.
$p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = 9 + 11 + 13 = 33$ (см);
$S = \sqrt{33(33 - 18)(33 - 22)(33 - 26)} = \sqrt{33 * 15 * 11 * 7} ≈ 195,23 (см^2)$
Гипотеза:
Площадь пропорциональна квадрату длины. Поэтому, если длины сторон увеличить в 2 раза, площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза.
Проверим гипотезу с помощью формулы Герона.
Для треугольника со сторонами a, b, c:
$S_1 = \sqrt{p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}$.
Теперь рассмотрим треугольник со сторонами 2a, 2b, 2c:
Его полупериметр:
$p_2 = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = a + b + c = 2p_1$
Площадь:
$S_2 = \sqrt{p_2(p_2 - 2a)(p_2 - 2b)(p_2 - 2c)} = \sqrt{2p_1(2p_1 - 2a)(2p_1 - 2b)(2p_1 - 2c)} = \sqrt{2^4p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)} = 4\sqrt{p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)} = 4S_1$
Таким образом, наша гипотеза оказалась верной − площадь увеличивается в 4 раза.
Пожауйста, оцените решение
