$\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\sqrt{2\frac{2}{3}} = \sqrt{4 * \frac{2}{3}}$
$\sqrt{2\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$
$\sqrt{2\frac{2}{3}} = \sqrt{2\frac{2}{3}}$
 
$\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$
$\sqrt{3\frac{3}{8}} = \sqrt{9 * \frac{3}{8}}$
$\sqrt{3\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$
$\sqrt{3\frac{3}{8}} = \sqrt{3\frac{3}{8}}$
 
$\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$
$\sqrt{4\frac{4}{15}} = \sqrt{16 * \frac{4}{15}}$
$\sqrt{4\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$
$\sqrt{4\frac{4}{15}} = \sqrt{4\frac{4}{15}}$
 
Таким образом, все равенства являются истинными.
Рассмотрим соотношение между числами a и b:
$\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$
$(\sqrt{a + \frac{a}{b}})^2 = (a\sqrt{\frac{a}{b}})^2$
$a + \frac{a}{b} = a^2\frac{a}{b}$
$a = \frac{a^3 - a}{b}$
$b = \frac{a^3 - a}{a} = \frac{a(a^2 - 1)}{a} = a^2 - 1$
Вывод:
если $b = a^2 - 1$, то $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$
Проиллюстрируем на заданных примерах.
1) В паре
$\sqrt{2\frac{2}{3}}$ и $2\sqrt{\frac{2}{3}}$
a = 2,
$b = a^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
2) В паре
$\sqrt{3\frac{3}{8}}$ и $3\sqrt{\frac{3}{8}}$
a = 3,
$b = a^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.
3) В паре
$\sqrt{4\frac{4}{15}}$ и $4\sqrt{\frac{4}{15}}$
a = 4,
$b = a^2 - 1 = 16 - 1 = 15$.
Продолжим это ряд:
$\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$,
$\sqrt{6\frac{6}{35}} = 6\sqrt{\frac{6}{35}}$,
$\sqrt{7\frac{7}{48}} = 7\sqrt{\frac{7}{48}}$ и т.д.