Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Другие варианты решения
Раздел:

Номер №246

Одно из тождеств, приведенных знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:
$a^3 + b^3 + (\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3})^3 = (\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3})^3$
.
Докажите его.

Решение

$a^3 + b^3 + (\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3})^3 = (\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3})^3$

$a^3 + b^3 = (\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3})^3 - (\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3})^3$

$a^3 + b^3 = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} - \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}$

$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3 = a^3(a^3 + 2b^3)^3 - b^3(2a^3 + b^3)^3$

$a^3(a^3 + 2b^3)^3 - b^3(2a^3 + b^3)^3 = a^3(a^9 + 6a^6b^3 + 6a^3b^6 + 8b^6) - b^3(8a^9 + 6a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9) = a^{12} + 6a^9b^3 + 6a^6b^6 + 8a^3b^9 - 8a^9b^3 - 6a^6b^6 - 6a^3b^9 - b^{12} = a^{12} - 2a^9b^3 + 2a^3b^9 - b^12$

$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3 = (a^3 + b^3)(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^6) = a^{12} + a^9b^3 - 3a^9b^3 - 3a^6b^6 + 3a^6b^6 + 3a^3b^9 - a^3b^9 - a^3b^9 - b^{12} = a^{12} - 2a^9b^3 + 2a^3b^9 - b^{12}$

Значит:
$a^3 + b^3 + (\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3})^3 = (\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3})^3$
Другие варианты решения