Одно из тождеств, приведенных знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:

a^{3} + b^{3} + (\frac{b (2 a^{3} + b^{3})}{a^{3} - b^{3}})^{3} = (\frac{a (a^{3} + 2 b^{3})}{a^{3} - b^{3}})^{3}

.
Докажите его.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 3. Номер №246

a^{3} + b^{3} + (\frac{b (2 a^{3} + b^{3})}{a^{3} - b^{3}})^{3} = (\frac{a (a^{3} + 2 b^{3})}{a^{3} - b^{3}})^{3}

a^{3} + b^{3} = (\frac{a (a^{3} + 2 b^{3})}{a^{3} - b^{3}})^{3} - (\frac{b (2 a^{3} + b^{3})}{a^{3} - b^{3}})^{3}

a^{3} + b^{3} = \frac{a^{3} (a^{3} + 2 b^{3})^{3}}{(a^{3} - b^{3})^{3}} - \frac{b^{3} (2 a^{3} + b^{3})^{3}}{(a^{3} - b^{3})^{3}}

(a^{3} + b^{3}) (a^{3} - b^{3})^{3} = a^{3} (a^{3} + 2 b^{3})^{3} - b^{3} (2 a^{3} + b^{3})^{3}

a^{3} (a^{3} + 2 b^{3})^{3} - b^{3} (2 a^{3} + b^{3})^{3} = a^{3} (a^{9} + 6 a^{6} b^{3} + 6 a^{3} b^{6} + 8 b^{6}) - b^{3} (8 a^{9} + 6 a^{6} b^{3} + 6 a^{3} b^{6} + b^{9}) = a^{12} + 6 a^{9} b^{3} + 6 a^{6} b^{6} + 8 a^{3} b^{9} - 8 a^{9} b^{3} - 6 a^{6} b^{6} - 6 a^{3} b^{9} - b^{12} = a^{12} - 2 a^{9} b^{3} + 2 a^{3} b^{9} - b^{1} 2

(a^{3} + b^{3}) (a^{3} - b^{3})^{3} = (a^{3} + b^{3}) (a^{9} - 3 a^{6} b^{3} + 3 a^{3} b^{6} - b^{6}) = a^{12} + a^{9} b^{3} - 3 a^{9} b^{3} - 3 a^{6} b^{6} + 3 a^{6} b^{6} + 3 a^{3} b^{9} - a^{3} b^{9} - a^{3} b^{9} - b^{12} = a^{12} - 2 a^{9} b^{3} + 2 a^{3} b^{9} - b^{12}

Значит:

a^{3} + b^{3} + (\frac{b (2 a^{3} + b^{3})}{a^{3} - b^{3}})^{3} = (\frac{a (a^{3} + 2 b^{3})}{a^{3} - b^{3}})^{3}

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, 2013