Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова Номер 238

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.

издательство: "Просвещение" 2013 г

Другие варианты решения

Раздел:

ГЛАВА I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
Дополнительные упражнения к главе I
К параграфу 2

Найдите такие значения a и b, при которых выполняется тождество:
а)

$\frac{5x}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 3}$

;
б)

$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a}{x - 5} - \frac{b}{x + 2}$

Решение а

$\frac{5x}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 3}$

$\frac{5x}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{a(x + 3) + b(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{ax + 3a + bx - 2b}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{5x}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{x(a + b) + 3a - 2b}{(x - 2)(x + 3)}$

\begin{equation*} \begin{cases} a + b = 5 &\\ 3a - 2b = 0 & \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{cases} 2a + 2b = 10 &\\ 3a - 2b = 0 & \end{cases} \end{equation*}

2a + 2b + 3a − 2b = 10 + 0
5a = 10
a = 2
b = 5 − a = 5 − 2 = 3
Ответ: а = 2; b = 3.

Решение б

$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a}{x - 5} - \frac{b}{x + 2}$

$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a(x + 2) - b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{ax + 2a - bx + 5b}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{x(a - b) + 2a + 5b}{(x - 5)(x + 2)}$

\begin{equation*} \begin{cases} a - b = 5 &\\ 2a + 5b = 31 & \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{cases} -2a + 2b = -10 &\\ 2a + 5b = 31 & \end{cases} \end{equation*}

−2a + 2b + 2a + 5b = −10 + 31
7b = 21
b = 3
a = 5 + b = 8
Ответ: а = 8; b = 3.