Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №237

При каких целых n значение дроби является целым числом:
а)
$\frac{5n^2 + 2n + 3}{n}$
;
б)
$\frac{(n - 3)^2}{n}$
;
в)
$\frac{3n}{n + 2}$
;
г)
$\frac{7n}{n - 4}$
?

Решение а

$\frac{5n^2 + 2n + 3}{n} = 5n + 2 + \frac{3}{n}$

Дробная часть
$\frac{3}{n}$
будет целым числом при n = {±1; ±3}.

Решение б

$\frac{(n - 3)^2}{n} = \frac{n^2 - 6n + 9}{n} = n - 6 + \frac{9}{n}$

Дробная часть
$\frac{9}{n}$
будет целым числом при n = {±1; ±3; ±9}.

Решение в

$\frac{3n}{n + 2} = \frac{3n + 6 - 6}{n + 2} = \frac{3(n + 2) - 6}{n + 2} = 3 - \frac{6}{n + 2}$

Дробная часть
$\frac{6}{n + 2}$
будет целым числом при n + 2 = {±1; ±2; ±3; ±6}:
n + 2 = −1
n = −3
 
n + 2 = 1
n = −1
 
n + 2 = −2
n = −4
 
n + 2 = 2
n = 0
 
n + 2 = −3
n = −5
 
n + 2 = 3
n = 1
 
n + 2 = −6
n = −8
 
n + 2 = 6
n = 4
 
При n = {−8; −5; −4; −3; −1; 0; 1; 4} значение дроби является целым числом.

Решение г

$\frac{7n}{n - 4} = \frac{7n - 28 + 28}{n - 4} = \frac{7(n - 4) + 28}{n - 4} = 7 + \frac{28}{n - 4}$

Дробная часть
$\frac{28}{n - 4}$
будет целым числом при n − 4 = {±1; ±2; ±4; ±7; ±14; ±28}:
n − 4 = −1
n = 3
 
n − 4 = 1
n = 5
 
n − 4 = −2
n = 2
 
n − 4 = 2
n = 6
 
n − 4 = −4
n = 0
 
n − 4 = 4
n = 8
 
n − 4 = −7
n = −3
 
n − 4 = 7
n = 11
 
n − 4 = −14
n = −10
 
n − 4 = 14
n = 18
 
n − 4 = −28
n = −24
 
n − 4 = 28
n = 32
 
При n = {−24; −10; −3; 2; 3; 5; 6; 8; 11; 18; 32} значение дроби является целым числом.