Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №222

Докажите, что если правильная обыкновенная дробь
$\frac{a}{b}$
несократима, то дробь, дополняющая ее до единицы, также несократима.

Решение

Так как дробь правильная, то a < b, a и b − взаимно простые числа.
Пусть
$\frac{c}{d}$
− дробь, дополняющая
$\frac{a}{b}$
до единицы:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = 1$

Допустим, что дробь
$\frac{c}{d}$
сократима. То есть найдется такое целое k ∈ Z, k ≠ {0;1}, что:
$\frac{c}{d} = \frac{ke}{kf}$
,
где дробь
$\frac{e}{f}$
− несократима, то есть e и f − взаимно простые числа.
Тогда:
$\frac{a}{b} = 1 - \frac{c}{d} = 1 - \frac{ke}{kf} = \frac{kf - ke}{kf} = \frac{k(f - e)}{kf}$

Но это означает, что дробь
$\frac{a}{b}$
также сократима на k, что противоречит условию, следовательно дробь
$\frac{c}{d}$
несократима.