Так как дробь правильная, то a < b, a и b − взаимно простые числа.
Пусть $\frac{c}{d}$ − дробь, дополняющая $\frac{a}{b}$ до единицы:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = 1$
Допустим, что дробь $\frac{c}{d}$ сократима. То есть найдется такое целое k ∈ Z, k ≠ {0;1}, что:
$\frac{c}{d} = \frac{ke}{kf}$,
где дробь $\frac{e}{f}$ − несократима, то есть e и f − взаимно простые числа.
Тогда:
$\frac{a}{b} = 1 - \frac{c}{d} = 1 - \frac{ke}{kf} = \frac{kf - ke}{kf} = \frac{k(f - e)}{kf}$
Но это означает, что дробь $\frac{a}{b}$ также сократима на k, что противоречит условию, следовательно дробь $\frac{c}{d}$ несократима.