Главная

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №222

Докажите, что если правильная обыкновенная дробь
a b
несократима, то дробь, дополняющая ее до единицы, также несократима.

Решение

Так как дробь правильная, то a < b, a и b − взаимно простые числа.
Пусть
c d
− дробь, дополняющая
a b
до единицы:
a b + c d = 1

Допустим, что дробь
c d
сократима. То есть найдется такое целое k ∈ Z, k ≠ {0;1}, что:
c d = k e k f
,
где дробь
e f
− несократима, то есть e и f − взаимно простые числа.
Тогда:
a b = 1 c d = 1 k e k f = k f k e k f = k ( f e ) k f

Но это означает, что дробь
a b
также сократима на k, что противоречит условию, следовательно дробь
c d
несократима.