Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №205

Найдите все пары натуральных чисел a и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна
$\frac{1}{7}$
.

Решение

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7}$
, a, b ∈ N.
$\frac{1}{b} = \frac{1}{7} - \frac{1}{a}$

$\frac{1}{b} = \frac{a - 7}{7}$

$b = \frac{7a}{a - 7} = \frac{7(a - 7) + 49}{a - 7} = 7 + \frac{49}{a - 7}$

b ∈ N, значит:
a − 7 = {1; 7; 49}
a − 7 = 1
a = 8
$b = 7 + \frac{49}{8 - 7} = 7 + 49 = 56$

 
a − 7 = 7
a = 14
$b = 7 + \frac{49}{14 - 7} = 7 + 7 = 14$

 
a − 7 = 49
a = 56
$b = 7 + \frac{49}{56 - 7} = 7 + 1 = 8$

Ответ: {(8;56),(14;14),(56;8)}.