Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №195

(Задача−исследование.) При каких значениях a и b является тождеством равенство
$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2}$
?
а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите ее.
в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

Решение

а) Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо в правой части привести дроби к общему знаменателю.
 
б)
$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2}$

$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a(x + 2) + b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)}$

$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{ax + 2a + bx - 5b}{(x - 5)(x + 2)}$

$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{x(a + b) + (2a - 5b)}{(x - 5)(x + 2)}$

Знаменатели дробей равны, поэтому дроби будут равны, если будут равны их числители.
5x + 31 = x(a + b) + (2a − 5b)
\begin{equation*} \begin{cases} a + b = 5 &\\ 2a - 5b = 31 & \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{cases} a = 5 - b &\\ 2(5 - b) - 5b = 31 & \end{cases} \end{equation*}

2(5 − b) − 5b = 31
102b − 5b = 31
107b = 31
7b = 3110
b = 21 : (−7)
b = −3
a = 5 − b = 5 + 3 = 8
\begin{equation*} \begin{cases} a = 8 &\\ b = -3 & \end{cases} \end{equation*}

 
в) Выражение является тождеством при a = 8, b = −3.
Проверка:
$\frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2} = \frac{8}{x - 5} + \frac{3}{x + 2} = \frac{8(x + 2) - 3(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)}$