Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г

Раздел:

Номер №100

(Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
а)
$\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^3 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x$
является положительным числом;
б)
$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1}$
является отрицательным числом.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).

Решение а

$\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^3 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x = \frac{(x^3 + 3x)(x - 2) - (3x^2 - 14x + 16) + 2x(x^2 - 4)}{(x + 2)(x + 2)} = \frac{x^4 + 3x^2 - 2x^3 - 6x - 3x^2 + 14x - 16 + 2x^3 - 8x}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4} = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 - 4} = x^2 + 4 ≥ 4$

При подстановке недопустимых значений переменных, выражение теряет смысл.
Допустимые значения переменных:
x ≠ 2 и x ≠ −2 x∈(−∞;−2)U(−2;2)U(2;+∞)

Решение б

$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1} = \frac{y(y^2 - 1) + 2y^2 + 3y + 1 - (y^3 + 2y)(y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - y^4 - 2y^2 - y^3 - 2y}{(y - 1)(y + 1)} = -\frac{y^4 - 1}{y^2 - 1} = -\frac{(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{y^2 - 1} = -(y^2 - 1) ≤ -1$

При подстановке недопустимых значений переменных, выражение теряет смысл.
Допустимые значения переменных:
y ≠ 1 и x ≠ −1 y∈(−∞;−1)U(−1;1)U(1;+∞)