При замене паровозов (η = 7%) современными тепловозами (η = 28%) экономится 75% условного топлива. Докажите это.

Для ответа на данную задачу требуется рассмотреть работу тепловых машин и исследовать влияние их КПД (коэффициента полезного действия) на расход топлива. Разберем теоретическую часть подробно.

1. Понятие КПД тепловой машины Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины обозначается буквой η и определяется формулой: $$ \eta = \frac{A_{\text{полезная}}}{Q_{\text{поступившее}}} \cdot 100\%, $$ где $A_{\text{полезная}}$ — полезная работа, выполненная машиной, а $Q_{\text{поступившее}}$ — количество тепла, полученное от топлива.

КПД показывает, какая доля энергии, высвобожденной при сгорании топлива, преобразуется в полезную работу. Остальная часть энергии теряется в виде тепла.

1. Работа тепловой машины Тепловая машина использует энергию, выделяющуюся при сгорании топлива. Количество тепла, выделяемое при сгорании топлива, пропорционально его массе. Пусть масса сжигаемого топлива обозначается как $m$, а теплота сгорания топлива — это $q$, тогда: $$ Q_{\text{поступившее}} = m \cdot q, $$ где $q$ — удельная теплота сгорания топлива (Дж/кг).

Таким образом, полезная работа машины выражается через КПД:
$$ A_{\text{полезная}} = \eta \cdot Q_{\text{поступившее}} = \eta \cdot m \cdot q. $$

1. Сравнение двух тепловых машин Для двух машин (паровоза и тепловоза) важно, чтобы выполняемая полезная работа $A_{\text{полезная}}$ оставалась одинаковой, ведь они выполняют одну и ту же задачу (например, перевозят одинаковый груз). Обозначим:
2. КПД паровоза: $\eta_1 = 7\% = 0.07$;
3. КПД тепловоза: $\eta_2 = 28\% = 0.28$.

Пусть масса сжигаемого топлива в паровозе будет $m_1$, а в тепловозе — $m_2$. Так как полезная работа одинакова, то:
$$ A_{\text{полезная}} = \eta_1 \cdot m_1 \cdot q = \eta_2 \cdot m_2 \cdot q. $$

Упростим выражение, сократив на $q$:
$$ \eta_1 \cdot m_1 = \eta_2 \cdot m_2. $$

Выразим отношение масс топлива:
$$ \frac{m_2}{m_1} = \frac{\eta_1}{\eta_2}. $$

Подставим значения КПД:
$$ \frac{m_2}{m_1} = \frac{0.07}{0.28}. $$

1. Экономия топлива Экономия топлива рассчитывается как разность между расходом топлива паровоза и тепловоза, выраженная в процентах: $$ \text{Экономия} = \left(1 - \frac{m_2}{m_1}\right) \cdot 100\%. $$

Подставив значение $\frac{m_2}{m_1}$, можно вычислить экономию топлива.