Сколько необходимо сжечь спирта, чтобы 2 кг льда, взятого при температуре − 5 °С, расплавить и 1 кг полученной воды обратить в пар? КПД спиртовки 40%.
Дано:
$m_{л} = 2$ кг;
$t_{л} = - 5$ °С;
$t_{пл} = 0 $ °С;
$с_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$λ_{л} = 34 * 10^{4}$ Дж/кг;
$m_{в} = 1$ кг;
$с_{л} = 2100 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$t_{п} = 100$ °С;
$L_{в} = 2,3 * 10^{6}$ Дж/кг;
$q_{сп} = 27 * 10^{6}$ Дж/кг;
η = 40 %.
Найти:
$m_{сп}$ − ?
Решение:
Коэффициент полезного действия нагревателя равен отношению количества теплоты, затраченной на нагревание льда, его плавление, нагревание воды и ее испарение, к количеству теплоты, выделенной при полном сгорании спирта.
$η = \frac{Q_{п}}{Q_{з}}$ * 100%;
Количество теплоты, необходимое для нагревания льда, его плавление, нагревание воды и ее испарение, :
$Q_{пл} = Q_{нагр1} + Q_{пл} + Q_{нагр2} + Q_{исп}$;
$Q_{нагр1} = с_{л}m_{л} (t_{пл} - t_{л})$;
$Q_{пл} = λ_{л}m_{л}$;
$Q_{нагр2} = с_{в}m_{л} (t_{п} - t_{пл})$;
$Q_{исп} = L_{в}m_{в}$;
Количество теплоты, выделенное при полном сгорании спирта:
$Q_{з} = Q_{сп} = q_{сп}m_{сп}$;
$η = \frac{с_{л}m_{л} (t_{пл} - t_{л})+ λ_{л}m_{л} +с_{в}m_{л} (t_{п} - t_{л}) + L_{в}m_{в}}{q_{сп}m_{сп}}$ * 100%;
$ m_{сп} = \frac{с_{л}m_{л} (t_{пл} - t_{л}) + λ_{л}m_{л} +с_{в}m_{л} (t_{п} - t_{л}) + L_{в}m_{в}}{q_{сп}η}$ * 100%;
$ m_{сп} = \frac{2100 * 2 * (0 - (-5)) + 34 * 10^{4} * 2 + 4200 * 2 * (100 - 0) + 2,3 * 10^{6} * 1}{27 * 10^{6} * 40} * 100 = 0,36$ кг.
Ответ: 0,36 кг.
Для решения задачи нужно знать, как энергия, выделяемая при сгорании спирта, используется для изменения состояния и температуры льда и воды. Разберем подробно теоретическую часть:
Энергия при сгорании топлива и КПД
При сгорании топлива выделяется определенное количество тепла, которое характеризуется удельной теплотой сгорания вещества $ q_{\text{сг}} $ (в Дж/кг). Указанный КПД спиртовки ($ \eta $) показывает, какая доля выделенной энергии используется для нагрева и фазовых переходов вещества.
Формула для полезной энергии:
$$
Q_{\text{полезная}} = \eta \cdot Q_{\text{выделенная}}
$$
где
$$
Q_{\text{выделенная}} = q_{\text{сг}} \cdot m_{\text{спирта}}
$$
$ m_{\text{спирта}} $ — масса сгоревшего спирта.
Этапы нагрева льда и воды
Для выполнения задачи нужно учесть несколько тепловых процессов:
Тепловые расчёты для каждого этапа
Нагрев льда от $ -5^\circ \text{C} $ до $ 0^\circ \text{C} $
Используется формула энергии для нагрева вещества:
$$
Q_{\text{нагрев льда}} = c_{\text{л}} \cdot m_{\text{л}} \cdot \Delta t
$$
где
$ c_{\text{л}} $ — удельная теплоёмкость льда ($ \approx 2100 \, \text{Дж}/\text{кг}\cdot\text{°С} $),
$ m_{\text{л}} $ — масса льда ($ 2 \, \text{кг} $),
$ \Delta t $ — изменение температуры ($ \Delta t = 0^\circ \text{C} - (-5^\circ \text{C}) = 5^\circ \text{C} $).
Плавление льда при $ 0^\circ \text{C} $
Для плавления льда используется удельная теплота плавления ($ \lambda_{\text{л}} $):
$$
Q_{\text{плавление}} = \lambda_{\text{л}} \cdot m_{\text{л}}
$$
где $ \lambda_{\text{л}} \approx 334000 \, \text{Дж}/\text{кг} $, а $ m_{\text{л}} = 2 \, \text{кг} $.
Нагрев воды от $ 0^\circ \text{C} $ до $ 100^\circ \text{C} $
После плавления льда образуется вода. Масса воды равна $ 2 \, \text{кг} $. Для нагрева воды от $ 0^\circ \text{C} $ до $ 100^\circ \text{C} $ используется удельная теплоёмкость воды ($ c_{\text{в}} $):
$$
Q_{\text{нагрев воды}} = c_{\text{в}} \cdot m_{\text{в}} \cdot \Delta t
$$
где
$ c_{\text{в}} \approx 4200 \, \text{Дж}/\text{кг}\cdot\text{°С} $,
$ m_{\text{в}} = 2 \, \text{кг} $,
$ \Delta t = 100^\circ \text{C} - 0^\circ \text{C} = 100^\circ \text{C} $.
Испарение воды при $ 100^\circ \text{C} $
Для испарения воды требуется энергия, определяемая удельной теплотой парообразования ($ r_{\text{в}} $):
$$
Q_{\text{испарение}} = r_{\text{в}} \cdot m_{\text{в, испаряемая}}
$$
где
$ r_{\text{в}} \approx 2260000 \, \text{Дж}/\text{кг} $,
$ m_{\text{в, испаряемая}} = 1 \, \text{кг} $.
Суммарная энергия для выполнения задачи
Общая энергия, необходимая для выполнения всех процессов, — это сумма тепловых энергий на каждом этапе:
$$
Q_{\text{общая}} = Q_{\text{нагрев льда}} + Q_{\text{плавление}} + Q_{\text{нагрев воды}} + Q_{\text{испарение}}
$$
Связь между выделяемой и необходимой энергией
Тепловая энергия, выделяемая при сгорании спирта, должна покрывать необходимую энергию, с учетом КПД спиртовки:
$$
Q_{\text{общая}} = \eta \cdot Q_{\text{выделенная}}
$$
Подставляем $ Q_{\text{выделенная}} = q_{\text{сг}} \cdot m_{\text{спирта}} $:
$$
Q_{\text{общая}} = \eta \cdot q_{\text{сг}} \cdot m_{\text{спирта}}
$$
Отсюда можно выразить массу спирта:
$$
m_{\text{спирта}} = \frac{Q_{\text{общая}}}{\eta \cdot q_{\text{сг}}}
$$
Все необходимые величины:
− $ c_{\text{л}} \approx 2100 \, \text{Дж}/\text{кг}\cdot\text{°С} $,
− $ \lambda_{\text{л}} \approx 334000 \, \text{Дж}/\text{кг} $,
− $ c_{\text{в}} \approx 4200 \, \text{Дж}/\text{кг}\cdot\text{°С} $,
− $ r_{\text{в}} \approx 2260000 \, \text{Дж}/\text{кг} $,
− КПД ($ \eta $) = 40% = 0.4,
− Удельная теплота сгорания спирта ($ q_{\text{сг}} $) известна из справочных данных ($ \approx 27000000 \, \text{Дж}/\text{кг} $).
Таким образом, после подстановки всех численных значений можно найти массу спирта.
Пожауйста, оцените решение
