В сосуд, содержащий воду массой 400 г при температуре 20 °С, вводят водяной пар массой 10 г, температура которого равна 100 °С. При этом пар обращается в воду. Определите конечную температуру воды в сосуде.
Дано:
$m_{в}= 400$ г;
$t_{1} = 20$ °С;
$m_{п}= 10$ г;
$t_{п} = 100$ °С;
$L_{в} = 2,3 * 10^{6}$ Дж/кг;
$с_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$.
Найти:
$t_{2}$ − ?
СИ:
$m_{в}= 0,4$ кг;
$m_{п}= 0,01$ кг.
Решение:
Условие теплового равновесия: количество теплоты, выделившееся при конденсации водяного пара и его охлаждении, равно количеству теплоты, потраченному на нагревание воды.
$Q_{конд} + Q_{охл} = Q_{нагр}$;
$Q_{конд} = L_{в}m_{п}$;
$Q_{охл} = с_{в}m_{п}(t_{п} - t_{2})$;
$Q_{нагр} = с_{в}m_{в}(t_{2} - t_{1})$;
$L_{в}m_{п} + с_{в}m_{п}(t_{п} - t_{2}) = с_{в}m_{в}(t_{2} - t_{1})$;
$L_{в}m_{п} + с_{в}m_{п}t_{п} - с_{в}m_{п}t_{2} = с_{в}m_{в}t_{2} - с_{в}m_{в}t_{1}$;
$с_{в}m_{в}t_{2} + с_{в}m_{п}t_{2} = L_{в}m_{п} + с_{в}m_{п}t_{п} + с_{в}m_{в}t_{1}$;
$с_{в}t_{2} * (m_{в} + m_{п}) = L_{в}m_{п} + с_{в} * (m_{п}t_{п} + m_{в}t_{1})$;
$t_{2} = \frac{L_{в}m_{п} + с_{в} * (m_{п}t_{п} + m_{в}t_{1})}{с_{в} * (m_{в} + m_{п}) }$;
$t_{2} = \frac{2,3 * 10^{6} * 0,01 + 4200 * (0,01 * 100 + 0,4 * 20)}{4200 * (0,4 + 0,01)} = 35,3$ °С.
Ответ: 35,3 °С.
Для решения данной задачи необходимо понять процессы теплообмена между водой при температуре 20 °C и водяным паром при температуре 100 °C. Здесь задействованы законы сохранения энергии и теплового равновесия.
Тепловое равновесие
Когда два тела с разными температурами вступают в тепловой контакт, более нагретое тело передает теплоту менее нагретому, пока их температуры не выровняются. Таким образом, система достигает теплового равновесия. Для решения задачи предполагается, что система полностью изолирована, то есть не происходит потерь энергии в окружающую среду.
Формула количества теплоты
Количество теплоты $ Q $, которое передается или поглощается веществом, рассчитывается по формуле:
$$ Q = mc\Delta t $$,
где:
$ m $ — масса вещества, кг,
$ c $ — удельная теплоемкость вещества, Дж/(кг·°С),
$ \Delta t = t_{\text{конечная}} - t_{\text{начальная}} $ — изменение температуры.
Конденсация водяного пара
Водяной пар при температуре 100 °C, попадая в контакт с водой при более низкой температуре, конденсируется, превращаясь в жидкость. При этом пар отдает определенное количество теплоты, известное как теплота парообразования. Энергия, выделяющаяся при конденсации, рассчитывается по формуле:
$$ Q_{\text{конденсация}} = Lm $$,
где:
$ L $ — удельная теплота парообразования воды, Дж/кг. Для воды $ L \approx 2{,}26 \cdot 10^6 $ Дж/кг,
$ m $ — масса водяного пара, кг.
Нагревание конденсированной воды
После конденсации пар превращается в воду с температурой 100 °C. Эта вода начинает отдавать теплоту, охлаждаясь до конечной общей температуры всей воды в сосуде. Количество теплоты, которое выделяется при охлаждении воды, рассчитывается по формуле $ Q = mc\Delta t $, где $ c $ — удельная теплоемкость воды ($ c \approx 4200 $ Дж/(кг·°С)).
Нагревание холодной воды
Холодная вода с температурой 20 °C, в свою очередь, будет принимать теплоту, выделяющуюся при конденсации пара и охлаждении воды, образовавшейся из пара. Её нагрев описывается той же формулой $ Q = mc\Delta t $.
Закон сохранения энергии
В изолированной системе сумма всех теплот, переданных между телами, равна нулю:
$$ Q_{\text{отдано}} + Q_{\text{получено}} = 0. $$
В нашей задаче:
− Тепло, выделяемое паром при конденсации, равно $ Q_{\text{конденсация}} $,
− Тепло, выделяемое водой, образовавшейся из пара, при её охлаждении от 100 °C до конечной температуры $ t_{\text{конечная}} $, равно $ Q_{\text{охлаждение пара}} $,
− Тепло, поглощаемое исходной холодной водой при нагревании от начальной температуры 20 °C до конечной температуры $ t_{\text{конечная}} $, равно $ Q_{\text{нагрев воды}} $.
Удельная теплота парообразования воды $ L = 2{,}26 \cdot 10^6 $ Дж/кг.
Составление уравнения
Теплоотдача паром (конденсация и охлаждение) равна теплопоглощению холодной водой:
$$ Q_{\text{конденсация}} + Q_{\text{охлаждение пара}} = Q_{\text{нагрев воды}}. $$
Развернутое уравнение:
$$ Lm_{\text{пар}} + m_{\text{пар}}c_{\text{вода}}(t_{\text{конечная}} - 100) = m_{\text{вода}}c_{\text{вода}}(t_{\text{конечная}} - 20). $$
Пожауйста, оцените решение
