В бак с водой при температуре 30 °С впустили водяной пар массой 400 г при температуре 100 °С. После конденсации пара температура установилась 32 °С. Сколько воды было в баке?

Для решения данной задачи необходимо использовать законы сохранения энергии и учитывать процессы теплообмена. Разберем теоретическую часть подробно.

1. Основные понятия и используемые формулы

• Теплообмен: При теплообмене между телами или веществами тепловая энергия передается от более горячего к более холодному до тех пор, пока не установится равновесная температура. В данном случае пар, конденсируясь, передает тепло воде.

• Теплота: Количество теплоты, которое передается или поглощается, рассчитывается по формуле:

$$ Q = cm\Delta t $$

где:
− $ Q $ — количество теплоты (Дж),
− $ c $ — удельная теплоемкость вещества (Дж/кг·°С),
− $ m $ — масса вещества (кг),
− $ \Delta t $ — изменение температуры (°С).

• Конденсация пара: При конденсации пар отдает скрытую теплоту, равную:

$$ Q_{\text{конд}} = r \cdot m $$

где:
− $ r $ — удельная теплота парообразования воды (Дж/кг), для воды $ r = 2.3 \times 10^6 \, \text{Дж/кг} $,
− $ m $ — масса пара (кг).

• Сохранение энергии: В такой задаче предполагается, что система является замкнутой и потери тепла отсутствуют. Вся теплота, выделяемая паром при конденсации и охлаждении, передается воде.

2. Физические процессы

• Процесс 1: Конденсация водяного пара. При этом пар превращается в воду, отдавая скрытую теплоту парообразования $ Q_{\text{конд}} $.

• Процесс 2: Охлаждение образовавшейся воды из конденсированного пара с 100 °С до конечной температуры, 32 °С. Для расчета используется формула $ Q = cm\Delta t $.

• Процесс 3: Нагрев воды, первоначально находящейся в баке, с начальной температуры 30 °С до конечной температуры 32 °С. Для расчета также используется $ Q = cm\Delta t $.

3. Составление уравнения теплового баланса

В задаче говорится, что температура системы установилась на уровне 32 °С, что означает равенство количества теплоты, отданного паром, количеству теплоты, поглощенного водой.

1. Теплота, которую отдает пар:

   • $ Q_{\text{пар}} = Q_{\text{конд}} + Q_{\text{охл}} $, где:
   • $ Q_{\text{конд}} = r \cdot m_{\text{пар}} $,
   • $ Q_{\text{охл}} = c \cdot m_{\text{пар}} \cdot (t_{\text{пар}} - t_{\text{конечная}}) $.

2. Теплота, которую поглощает вода:

   • $ Q_{\text{вода}} = c \cdot m_{\text{вода}} \cdot (t_{\text{конечная}} - t_{\text{начальная}}) $.

3. Уравнение теплового баланса:
   $$ Q_{\text{пар}} = Q_{\text{вода}} $$

Подставляем значения:
$$ r \cdot m_{\text{пар}} + c \cdot m_{\text{пар}} \cdot (t_{\text{пар}} - t_{\text{конечная}}) = c \cdot m_{\text{вода}} \cdot (t_{\text{конечная}} - t_{\text{начальная}}) $$

4. Расчетные параметры

• $ r $ — удельная теплота парообразования воды, $ r = 2.3 \times 10^6 \, \text{Дж/кг} $.
• $ c $ — удельная теплоемкость воды, $ c = 4200 \, \text{Дж/кг·°С} $.
• Температуры:
  • $ t_{\text{пар}} = 100 \, \text{°С} $,
  • $ t_{\text{начальная}} = 30 \, \text{°С} $,
  • $ t_{\text{конечная}} = 32 \, \text{°С} $.
• Масса пара: $ m_{\text{пар}} = 0.4 \, \text{кг} $.
• Масса воды: $ m_{\text{вода}} $ (искать).

5. Алгоритм решения

1. Вычислить теплоту, которую отдает пар при конденсации $ Q_{\text{конд}} = r \cdot m_{\text{пар}} $.
2. Вычислить теплоту, которую отдает вода, образовавшаяся из пара, при охлаждении $ Q_{\text{охл}} = c \cdot m_{\text{пар}} \cdot (t_{\text{пар}} - t_{\text{конечная}}) $.
3. Сложить $ Q_{\text{конд}} $ и $ Q_{\text{охл}} $, получив общий $ Q_{\text{пар}} $.
4. Выразить массу воды $ m_{\text{вода}} $ через уравнение теплового баланса: $$ m_{\text{вода}} = \frac{Q_{\text{пар}}}{c \cdot (t_{\text{конечная}} - t_{\text{начальная}})} $$