Какая установится окончательная температура, если лёд массой 500 г при температуре 0 °С погрузить в воду объёмом 4 л при температуре 30 °С?

Для решения задачи будем использовать законы сохранения энергии, а именно принцип теплового равновесия. Суть этого принципа заключается в том, что в изолированной системе объем тепла, отданного более горячими телами, равен теплу, которое поглощается более холодными телами. При этом тепловой обмен будет продолжаться до достижения равновесной температуры, одинаковой для всех компонентов системы.

Основные процессы, которые нужно учитывать

1. Поглощение тепла льдом:
   Лёд при температуре 0 °С сначала должен расплавиться, превратившись в воду при температуре 0 °С. Энергия, необходимая для плавления льда, определяется удельной теплотой плавления льда.

2. Нагрев расплавленной воды:
   После того как лёд полностью расплавится, образовавшаяся вода (при 0 °С) будет нагреваться до некоторой конечной температуры.

3. Охлаждение воды:
   Вода, изначально имеющая температуру 30 °С, будет отдавать тепло, охлаждаясь до конечной температуры.

Основные формулы

1. Количество тепла, необходимое для плавления льда:
   $$ Q_{\text{плавл}} = \lambda \cdot m_{\text{лёд}} $$
   где:

   • $\lambda$ — удельная теплота плавления льда ($334\,\text{кДж/кг}$ или $334\,\text{Дж/г}$),
   • $m_{\text{лёд}}$ — масса льда.

2. Количество тепла, необходимое для нагревания воды:
   $$ Q_{\text{нагрев}} = c \cdot m \cdot \Delta T $$
   где:

   • $c$ — удельная теплоёмкость воды ($4.2\,\text{кДж/(кг·°С)}$ или $4.2\,\text{Дж/(г·°С)}$),
   • $m$ — масса воды,
   • $\Delta T$ — изменение температуры.

3. Количество тепла, отдаваемого при охлаждении воды:
   Формула аналогична:
   $$ Q_{\text{охлаждение}} = c \cdot m \cdot \Delta T $$

Уравнение теплового баланса

В изолированной системе количество тепла, которое поглощается льдом и холодной водой, равно количеству тепла, которое отдаёт горячая вода:
$$ Q_{\text{отдано}} = Q_{\text{поглощено}} $$
Это уравнение можно развернуть в виде:
$$ Q_{\text{охлаждение воды}} = Q_{\text{плавление льда}} + Q_{\text{нагрев новой воды}} $$

Порядок решения задачи

1. Рассчитать тепло, необходимое для плавления льда ($Q_{\text{плавл}}$):
   Используем массу льда ($m = 500\,\text{г}$) и удельную теплоту плавления льда ($\lambda = 334\,\text{Дж/г}$).

2. Рассчитать массу воды:
   Плотность воды $\rho = 1\,\text{г/см}^3$, поэтому объём воды в литрах можно перевести в массу в граммах (1 литр воды = 1000 граммов). Масса воды $m_{\text{вода}}$ будет равна 4000 граммов.

3. Предположить, что вся система достигнет равновесной температуры $T_{\text{оконч}}$:

   • Если лёд полностью плавится, добавляется вода от льда. Масса всей воды в системе будет равна сумме массы изначальной воды и массы льда ($m_{\text{общая вода}} = 4000\,\text{г} + 500\,\text{г} = 4500\,\text{г}$).
   • Энергия охлаждения горячей воды рассчитывается по формуле $Q_{\text{охлаждение}} = c \cdot m_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{нач вода}} - T_{\text{оконч}})$.
   • Энергия нагрева "новой воды" рассчитывается по формуле $Q_{\text{нагрев}} = c \cdot m_{\text{лёд}} \cdot (T_{\text{оконч}} - 0)$.

4. Составить уравнение теплового баланса с учётом всех процессов:
   Подставить все выражения для $Q_{\text{плавл}}$, $Q_{\text{нагрев}}$ и $Q_{\text{охлаждение}}$ в уравнение теплового баланса:
   $$ c \cdot m_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{нач вода}} - T_{\text{оконч}}) = \lambda \cdot m_{\text{лёд}} + c \cdot m_{\text{лёд}} \cdot (T_{\text{оконч}} - 0) $$

5. Решить уравнение относительно $T_{\text{оконч}}$:
   Получив уравнение, выразить и рассчитать $T_{\text{оконч}}$.

Дополнительно нужно будет проверить, хватит ли тепла от горячей воды для полного плавления льда. Если тепла недостаточно, то часть льда останется, а температура системы остановится на 0 °С. Это выясняется на этапе подстановки значений.