С какой минимальной скоростью свинцовая пуля должна удариться о преграду, чтобы она расплавилась, если до удара температура пули была равна 100 °С? Считать, что при ударе 60% кинетической энергии пули превратилось во внутреннюю энергию.
Дано:
$t_{0} = 100$ °С;
$Q = 0,6E_{к}$;
$t_{пл} = 327$ °С;
$λ = 2,5 * 10^{4}$ Дж/кг;
$с = 130 \frac{Дж}{кг * °С}$.
Найти:
$v_{min}$ − ?
Решение:
$Q = 0,6E_{к}$;
$E_{к} = \frac{mv^{2}}{2}$;
Количество теплоты, необходимое для нагревания свинцовой пули и ее плавления:
$Q = Q_{нагр} + Q_{пл}$;
$Q_{нагр} = сm (t_{пл} - t_{0})$;
$Q_{пл} = λm$;
$сm (t_{пл} - t_{0}) + λm = 0,6 \frac{mv^{2}}{2}$;
$m * (с * (t_{пл} - t_{0})) + λ) = 0,6 \frac{mv^{2}}{2}$;
$2m * (c *(t_{пл} - t_{0})) + λ) = 0,6 * mv^{2}$;
$v^{2} = \frac{2m * (c *(t_{пл} - t_{0})) + λ)} {0,6 * m} = \frac{2 * (c *(t_{пл} - t_{0})) + λ)} {0,6}$;
$v =\sqrt{\frac{2 * (c *(t_{пл} - t_{0})) + λ)} {0,6}}$;
$v =\sqrt{\frac{2 * (130 *(327 - 100)) + 2,5 * 10^{4})} {0,6}} = 426$ м/с.
Ответ: 426 м/с.
Для решения этой задачи необходимо применить законы сохранения энергии и учитывать особенности теплофизики. Давайте разберем теоретическую часть.
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия движущегося тела рассчитывается по формуле:
$$ E_k = \frac{m v^2}{2}, $$
где $ m $ — масса тела (пули), $ v $ — скорость, и $ E_k $ — кинетическая энергия.
Закон сохранения энергии
При столкновении пули с преградой часть её кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию, вызывая нагревание пули. В данном случае сказано, что 60% кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию. Это можно записать как:
$$ E_{\text{внутр}} = 0.6 \cdot E_k. $$
Тепловая энергия и нагревание
Для расчёта тепловой энергии, которая необходима для нагрева и расплавления пули, нужно учитывать несколько этапов:
Общая энергия, необходимая для нагревания и плавления пули, состоит из суммы двух частей:
$$ E_{\text{тепло}} = E_{\text{нагрев}} + E_{\text{плавление}}, $$
где
$ E_{\text{нагрев}} = m c \Delta T, $
$ E_{\text{плавление}} = m \lambda. $
Здесь:
− $ c $ — удельная теплоёмкость свинца (мера способности поглощать теплоту),
− $ \Delta T = T_{\text{плав}} - T_{\text{нач}} $ — разность температур между начальной и температурой плавления,
− $ \lambda $ — удельная теплота плавления свинца (энергия, необходимая для перехода вещества из твёрдого состояния в жидкое).
Условие расплавления
Для того чтобы пуля расплавилась, переданная ей внутренняя энергия $ E_{\text{внутр}} $ должна быть не меньше, чем энергия, необходимая для её нагревания и плавления $ E_{\text{тепло}} $. Таким образом:
$$ E_{\text{внутр}} \geq E_{\text{тепло}}. $$
Связь внутренней и кинетической энергии
Подставляя $ E_{\text{внутр}} $ в выражение выше, получаем:
$$ 0.6 \cdot E_k \geq E_{\text{тепло}}, $$
или
$$ 0.6 \cdot \frac{m v^2}{2} \geq m c \Delta T + m \lambda. $$
Оптимизация уравнения
Масса $ m $ пули сокращается (она есть в обеих частях уравнения), и выражение для скорости $ v $ преобразуется:
$$ v^2 \geq \frac{2 \left( c \Delta T + \lambda \right)}{0.6}. $$
Отсюда:
$$ v \geq \sqrt{\frac{2 \left( c \Delta T + \lambda \right)}{0.6}}. $$
Необходимые данные для вычислений
Чтобы использовать эту формулу на практике, потребуются следующие значения:
Физический смысл решения
Полученная формула позволяет определить минимальную скорость $ v $, с которой свинцовая пуля должна удариться о преграду, чтобы высвобожденной энергии хватило для её нагревания и плавления.
Пожауйста, оцените решение
