В бочку с водой опустили лёд массой 2 кг при температуре 0 °С. Сколько воды было в бочке, если после таяния льда температура воды уменьшилась от 20 до 18 °С?
Дано:
$m_{л} = 2$ кг;
$t_{л} = 0$ °С;
$λ_{л} = 34 * 10^{4}$ Дж/кг;
$с_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг * °С}$;
$t_{1} = 20$ °С;
$t_{2} = 18$ °С.
Найти:
$m_{в}$ − ?
Решение:
Условие теплового равновесия: количество теплоты, отданное водой при охлаждении, равно количеству теплоты, полученному льдом при плавлении и нагревании получившейся воды:
$Q_{1} = Q_{2} + Q_{3}$;
Количество теплоты, отданное водой при охлаждении:
$Q_{1} = с_{в}m_{в} (t_{1} - t_{2})$;
Количество теплоты, полученное льдом при плавлении:
$Q_{2} = λ_{л}m_{л}$;
Количество теплоты, полученное при нагревании получившейся воды:
$Q_{3} = с_{в}m_{л}(t_{2} - t_{л})$;
$с_{в}m_{в} (t_{1} - t_{2}) = λ_{л}m_{л} + с_{в}m_{л}(t_{2} - t_{л})$;
$m_{в} = \frac{ λ_{л}m_{л} + с_{в}m_{л}(t_{2} - t_{л})}{с_{в}(t_{1} - t_{2})}$;
$m_{в} = \frac{34 * 10^{4} * 2 + 4200 * 2 * (18 - 0)}{4200 * (20 - 18)} = 99$ кг.
Ответ: 99 кг.
Для решения этой задачи нужно применить законы сохранения энергии и учесть процессы теплообмена. Давайте разберём теоретические аспекты, которые понадобятся.
Теплообмен
Когда лёд при температуре 0 °C помещают в воду, тепло передаётся от воды льду. Лёд поглощает это тепло, чтобы сначала растопиться, а затем, если в системе останется тепло, нагреться до температуры воды. В то же время вода отдаёт своё тепло, охлаждаясь. В задаче указано, что температура воды в бочке понизилась с 20 °C до 18 °C.
Формула для количества теплоты
Для расчёта тепловой энергии используется формула:
$$ Q = c \cdot m \cdot \Delta t $$
где:
$ Q $ — количество теплоты (в джоулях),
$ c $ — удельная теплоёмкость вещества (в Дж/(кг·°C)),
$ m $ — масса вещества (в кг),
$ \Delta t $ — изменение температуры (в °C).
Для воды удельная теплоёмкость $ c $ равна $ 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)} $.
$ m $ — масса льда (в кг).
Уравнение теплового баланса
Закон сохранения энергии гласит, что количество теплоты, которое вода отдаёт, равно количеству теплоты, которое лёд принимает. Это записывается как:
$$ Q_{\text{отд}} = Q_{\text{плав}} + Q_{\text{нагрев}} $$
где:
$ Q_{\text{отд}} $ — количество теплоты, которое отдаёт вода при её охлаждении,
$ Q_{\text{плав}} $ — количество теплоты, необходимое для плавления льда,
$ Q_{\text{нагрев}} $ — количество теплоты, необходимое для нагрева растаявшего льда до конечной температуры воды.
Теплота, которую отдаёт вода
При охлаждении воды её количество теплоты рассчитывается по формуле:
$$ Q_{\text{отд}} = c_{\text{вода}} \cdot m_{\text{вода}} \cdot \Delta t_{\text{вода}} $$
где:
$ c_{\text{вода}} = 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)} $,
$ m_{\text{вода}} $ — масса воды в бочке (найти её — цель задачи),
$ \Delta t_{\text{вода}} = 20 \, \text{°C} - 18 \, \text{°C} = 2 \, \text{°C} $.
Теплота, необходимая для плавления льда
Для того чтобы растопить лёд массой $ 2 \, \text{кг} $, понадобится количество теплоты:
$$ Q_{\text{плав}} = \lambda \cdot m_{\text{лёд}} = 334000 \cdot 2 $$.
Теплота, необходимая для нагрева растаявшего льда
После плавления лёд превращается в воду при температуре $ 0 \, \text{°C} $. Для её нагрева до конечной температуры $ 18 \, \text{°C} $ потребуется:
$$ Q_{\text{нагрев}} = c_{\text{вода}} \cdot m_{\text{лёд}} \cdot \Delta t_{\text{нагрев}} $$,
где:
$ c_{\text{вода}} = 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)} $,
$ m_{\text{лёд}} = 2 \, \text{кг} $,
$ \Delta t_{\text{нагрев}} = 18 \, \text{°C} - 0 \, \text{°C} = 18 \, \text{°C} $.
Поиск массы воды
Составим уравнение теплового баланса:
$$ c_{\text{вода}} \cdot m_{\text{вода}} \cdot \Delta t_{\text{вода}} = \lambda \cdot m_{\text{лёд}} + c_{\text{вода}} \cdot m_{\text{лёд}} \cdot \Delta t_{\text{нагрев}}. $$
Подставим известные значения и решим его для $ m_{\text{вода}} $.
Пожауйста, оцените решение
