Для получения бетона объёмом 1 $м^{3}$ в зимних условиях смешали цемент массой 200 кг, гравий массой 1200 кг, песок массой 600 кг, имеющие температуру 10 °С, и тёплую воду объёмом 200 л. Какую температуру должна иметь вода для получения бетона при температуре 30°С?

Для решения этой задачи необходимо использовать принцип сохранения энергии, который утверждает, что в системе, где нет потерь энергии, количество теплоты, отдаваемое одними телами, равно количеству теплоты, принимаемым другими телами. Это называется уравнением теплового баланса.

Теория:

1. Тепловой баланс:
   Когда вещества с разными температурами смешиваются, они обмениваются теплотой, пока не достигнут теплового равновесия — общей температуры. Количество теплоты, которое одно вещество теряет или получает, зависит от его массы, удельной теплоёмкости и изменения температуры.
   Формула теплоты:
   $$ Q = c \cdot m \cdot \Delta t $$
   где:

   • $ Q $ — количество теплоты (Дж),
   • $ c $ — удельная теплоёмкость вещества ($ \text{Дж}/(\text{кг} \cdot \text{°С}) $),
   • $ m $ — масса вещества (кг),
   • $ \Delta t $ — изменение температуры (°С).

2. Учет теплоёмкостей компонентов:
   У каждого компонента смеси (цемент, гравий, песок, вода) есть своя удельная теплоёмкость ($ c $). Мы будем рассчитывать количество теплоты, которое каждый компонент отдаёт или принимает для достижения конечной температуры смеси.

3. Идеальная модель:
   Для простоты задачи предполагается, что система изолирована, то есть теплота не уходит из системы и не поступает извне. Тепловой баланс можно записать как:
   $$ Q_{\text{отданное}} = Q_{\text{принятое}} $$
   Сумма теплоты, отдаваемой компонентами смеси, равна сумме теплоты, принимаемой водой.

4. Расчет теплоты для каждого компонента:
   Для каждого компонента смеси, кроме воды, температура должна увеличиться от начальной ($ t_{\text{нач}} = 10 \, \text{°С} $) до конечной температуры смеси ($ t_{\text{кон}} = 30 \, \text{°С} $). Для воды начальная температура — та, которую нужно найти, а конечная температура также равна $ 30 \, \text{°С} $.

5. Удельная теплоёмкость материалов:
   Для решения задачи потребуются удельные теплоёмкости:

   • Цемент: $ c_{\text{цемент}} \approx 0.84 \, \text{кДж}/(\text{кг} \cdot \text{°С}) $,
   • Гравий: $ c_{\text{гравий}} \approx 0.84 \, \text{кДж}/(\text{кг} \cdot \text{°С}) $,
   • Песок: $ c_{\text{песок}} \approx 0.84 \, \text{кДж}/(\text{кг} \cdot \text{°С}) $,
   • Вода: $ c_{\text{вода}} = 4.18 \, \text{кДж}/(\text{кг} \cdot \text{°С}) $.

6. Масса воды:
   Объём воды дан как $ 200 \, \text{л} $. Зная плотность воды ($ \rho = 1000 \, \text{кг}/\text{м}^3 $), её масса составит:
   $$ m_{\text{вода}} = \rho \cdot V = 1000 \cdot 0.2 = 200 \, \text{кг} $$

7. Уравнение теплового баланса:
   Суммируем количество теплоты для каждого компонента:

   • Цемент отдаёт теплоту: $$ Q_{\text{цемент}} = c_{\text{цемент}} \cdot m_{\text{цемент}} \cdot (t_{\text{кон}} - t_{\text{нач}}) $$
   • Гравий отдаёт теплоту: $$ Q_{\text{гравий}} = c_{\text{гравий}} \cdot m_{\text{гравий}} \cdot (t_{\text{кон}} - t_{\text{нач}}) $$
   • Песок отдаёт теплоту: $$ Q_{\text{песок}} = c_{\text{песок}} \cdot m_{\text{песок}} \cdot (t_{\text{кон}} - t_{\text{нач}}) $$
   • Вода принимает теплоту: $$ Q_{\text{вода}} = c_{\text{вода}} \cdot m_{\text{вода}} \cdot (t_{\text{кон}} - t_{\text{вода нач}}) $$

Уравнение теплового баланса будет выглядеть так:
$$ Q_{\text{цемент}} + Q_{\text{гравий}} + Q_{\text{песок}} = Q_{\text{вода}} $$

1. Подстановка значений: В уравнение подставляются известные массы компонентов, их удельные теплоёмкости, начальные и конечные температуры. После расчёта находится начальная температура воды, которая необходима для достижения температуры смеси $ 30 \, \text{°С} $.