Смешали воду массой $m_{1}$ при температуре $t_{1}$ с водой массой $m_{2}$ при температуре $t_{2}$. Выведите общую формулу для определения температуры смеси.

Для решения задачи о смешении двух масс воды при разных температурах необходимо использовать закон сохранения энергии, а точнее, принцип теплового равновесия. Этот принцип гласит, что при отсутствии потерь тепла в окружающую среду количество теплоты, отданное более горячей водой, равно количеству теплоты, полученного более холодной водой. В результате система приходит к состоянию термического равновесия, и температура смеси становится единой.

Теоретическая база для решения задачи

1. Количество теплоты Количество теплоты, которое тело получает или отдает при изменении температуры, рассчитывается по формуле: $$ Q = c \cdot m \cdot \Delta t, $$ где:
2. $ Q $ — количество теплоты (Дж),
3. $ c $ — удельная теплоёмкость вещества (Дж/(кг·°C)),
4. $ m $ — масса вещества (кг),
5. $ \Delta t $ — изменение температуры ($ t_{\text{конечное}} - t_{\text{начальное}} $).

Для воды удельная теплоёмкость $ c $ имеет значение $ 4200 \, \text{Дж}/(\text{кг} \cdot \text{°C}) $, но в данной задаче это значение можно не учитывать, так как оно одинаково для всех масс воды.

1. Тепловое равновесие
   При смешении воды более горячая масса отдаёт тепло, а более холодная — получает. Согласно закону сохранения энергии:
   $$ Q_{\text{отданное}} = Q_{\text{полученное}}. $$

2. Выражение для изменения температуры
   Для каждой массы воды можно выразить количество теплоты:

3. Для более горячей воды: $ Q_{\text{горячая}} = c \cdot m_{1} \cdot (t_{1} - t_{\text{смеси}}) $,

4. Для более холодной воды: $ Q_{\text{холодная}} = c \cdot m_{2} \cdot (t_{\text{смеси}} - t_{2}) $.

5. Принцип теплового равновесия
   При равновесии количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученного холодной водой:
   $$ c \cdot m_{1} \cdot (t_{1} - t_{\text{смеси}}) = c \cdot m_{2} \cdot (t_{\text{смеси}} - t_{2}). $$

6. Упрощение уравнения
   Поскольку удельная теплоёмкость $ c $ одинакова для воды, её можно сократить из обеих частей уравнения. В результате получаем:
   $$ m_{1} \cdot (t_{1} - t_{\text{смеси}}) = m_{2} \cdot (t_{\text{смеси}} - t_{2}). $$

7. Вывод формулы для температуры смеси
   Раскроем скобки и приведём уравнение к виду, удобному для нахождения $ t_{\text{смеси}} $:
   $$ m_{1} \cdot t_{1} - m_{1} \cdot t_{\text{смеси}} = m_{2} \cdot t_{\text{смеси}} - m_{2} \cdot t_{2}. $$
   Перенесём все члены с $ t_{\text{смеси}} $ в одну часть уравнения:
   $$ m_{1} \cdot t_{1} + m_{2} \cdot t_{2} = t_{\text{смеси}} \cdot (m_{1} + m_{2}). $$
   Разделим обе части уравнения на сумму масс $ m_{1} + m_{2} $:
   $$ t_{\text{смеси}} = \frac{m_{1} \cdot t_{1} + m_{2} \cdot t_{2}}{m_{1} + m_{2}}. $$

Итоговая формула

Температура смеси после теплового равновесия определяется следующим образом:
$$ t_{\text{смеси}} = \frac{m_{1} \cdot t_{1} + m_{2} \cdot t_{2}}{m_{1} + m_{2}}. $$

Эта формула показывает, что температура смеси является средневзвешенной температурой, где веса пропорциональны массам воды.