Для получения цементного раствора объёмом 1 $м^{3}$ смешали цемент массой 240 кг при температуре 5 °С, песок массой 1500 кг при температуре 5 °С и воду объёмом 300 л при температуре 40 °С. Определите температуру раствора.

Для решения задачи потребуется понимание законов теплообмена и использования формулы теплового баланса. Вот теоретическая часть:

1. Принцип теплообмена
   При теплообмене между телами в системе, тепло передается от более горячего тела (или вещества) к более холодному, пока не установится равновесная температура. В закрытой системе, где нет потерь тепла, количество теплоты, отдаваемое горячим телом, равно количеству теплоты, получаемого холодным телом:
   $$ Q_{\text{отданное}} = Q_{\text{полученное}} $$.

2. Формула тепловой энергии
   Количество теплоты, необходимое для изменения температуры вещества, рассчитывается по формуле:
   $$ Q = c \cdot m \cdot \Delta T, $$
   где:

3. $ Q $ — количество теплоты (Дж),

4. $ c $ — удельная теплоёмкость вещества (Дж/(кг·°С)),

5. $ m $ — масса вещества (кг),

6. $ \Delta T $ — изменение температуры вещества (°С).

Каждое вещество в задаче (цемент, песок, вода) имеет свою удельную теплоёмкость, которую нужно учитывать.

1. Удельная теплоёмкость веществ Для решения задачи необходимо знать удельные теплоёмкости:
2. $ c_{\text{цемент}} $,
3. $ c_{\text{песок}} $,
4. $ c_{\text{вода}} $.

Эти значения обычно задаются или могут быть найдены в справочных материалах:
− Удельная теплоёмкость воды: $ c_{\text{вода}} \approx 4200 \, \text{Дж/(кг·°С)} $,
− Удельная теплоёмкость цемента (приблизительно): $ c_{\text{цемент}} \approx 850 \, \text{Дж/(кг·°С)} $,
− Удельная теплоёмкость песка (приблизительно): $ c_{\text{песок}} \approx 800 \, \text{Дж/(кг·°С)} $.

1. Масса воды
   Объём воды дан в литрах. Поскольку плотность воды равна $ 1000 \, \text{кг/м}^3 $, масса воды рассчитывается как:
   $$ m_{\text{вода}} = \rho_{\text{вода}} \cdot V_{\text{вода}}, $$
   где $ \rho_{\text{вода}} = 1000 \, \text{кг/м}^3 $, а $ V_{\text{вода}} $ — объём воды в кубических метрах. Учтите, что 1 литр = $ 0.001 \, \text{м}^3 $.

2. Равновесная температура
   При установлении равновесной температуры смеси, количество теплоты от горячей воды должно быть равно суммарному количеству теплоты, полученному холодными компонентами (цементом и песком). Составляется уравнение теплового баланса:
   $$ Q_{\text{вода}} = Q_{\text{цемент}} + Q_{\text{песок}}. $$

Расписываем тепловые энергии для каждого компонента смеси:
$$ c_{\text{вода}} \cdot m_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{вода}} - T_{\text{смеси}}) = c_{\text{цемент}} \cdot m_{\text{цемент}} \cdot (T_{\text{смеси}} - T_{\text{цемент}}) + c_{\text{песок}} \cdot m_{\text{песок}} \cdot (T_{\text{смеси}} - T_{\text{песок}}), $$
где:
− $ T_{\text{вода}} $ — начальная температура воды,
− $ T_{\text{цемент}} $ — начальная температура цемента,
− $ T_{\text{песок}} $ — начальная температура песка,
− $ T_{\text{смеси}} $ — искомая температура раствора.

1. Уравнение для нахождения температуры смеси Переставляем члены уравнения и решаем его относительно $ T_{\text{смеси}} $: $$ T_{\text{смеси}} = \frac{c_{\text{вода}} \cdot m_{\text{вода}} \cdot T_{\text{вода}} + c_{\text{цемент}} \cdot m_{\text{цемент}} \cdot T_{\text{цемент}} + c_{\text{песок}} \cdot m_{\text{песок}} \cdot T_{\text{песок}}}{c_{\text{вода}} \cdot m_{\text{вода}} + c_{\text{цемент}} \cdot m_{\text{цемент}} + c_{\text{песок}} \cdot m_{\text{песок}}}. $$

Это итоговая формула, которая позволяет найти температуру готовой смеси. Сделав расчеты, можно получить точный ответ.