Холодную воду массой 40 кг смешали с водой массой 16 кг при температуре 84 °С. Чему равна первоначальная температура холодной воды, если температура смеси равна 34 °С?

Для решения данной задачи используется принцип сохранения энергии, который гласит: в замкнутой системе сумма всех видов энергии сохраняется, если нет потерь энергии на теплообмен с внешней средой. Здесь в нашей задаче тепло, потерянное более горячей водой, полностью передаётся холодной воде (предполагается, что потерь тепла в окружающую среду нет).

Тепловой баланс

1. При смешивании двух масс воды тепловая энергия передаётся от горячей воды к холодной до тех пор, пока их температуры не сравняются. Равновесная температура смеси (в данном случае $ 34 \, ^\circ\text{C} $) — это температура, при которой процесс теплообмена заканчивается.

2. Количество теплоты, которое отдаёт горячая вода, равно количеству теплоты, которое поглощает холодная вода:

$$ Q_{\text{отд}} = Q_{\text{прин}} $$

Формула для количества теплоты

Количество теплоты рассчитывается по формуле:

$$ Q = cm\Delta t, $$

где:

• $ Q $ — количество теплоты (Дж),
• $ c $ — удельная теплоёмкость вещества (Дж/(кг·°С)),
• $ m $ — масса вещества (кг),
• $ \Delta t $ — изменение температуры ($ \Delta t = t_{\text{конечн}} - t_{\text{начальн}} $).

Для воды удельная теплоёмкость $ c $ составляет $ 4200 \, \text{Дж/(кг·°С)} $.

Анализ изменений температуры

• Горячая вода массой $ m_1 = 16 \, \text{кг} $ остывает с начальной температуры $ t_1 = 84 \, ^\circ\text{C} $ до температуры смеси $ t_{\text{смеси}} = 34 \, ^\circ\text{C} $.

Тогда изменение температуры горячей воды:

$$ \Delta t_1 = t_{\text{смеси}} - t_1. $$

• Холодная вода массой $ m_2 = 40 \, \text{кг} $ нагревается с неизвестной начальной температуры $ t_2 $ до температуры смеси $ t_{\text{смеси}} = 34 \, ^\circ\text{C} $.

Тогда изменение температуры холодной воды:

$$ \Delta t_2 = t_{\text{смеси}} - t_2. $$

Формула теплового баланса

Запишем закон сохранения энергии:

$$ Q_{\text{отд}} = Q_{\text{прин}}. $$

Подставим выражения для количества теплоты:

$$ c m_1 \Delta t_1 = c m_2 \Delta t_2. $$

Поскольку $ c $ одинаково для обеих масс воды (вода имеет одинаковую удельную теплоёмкость), оно сокращается:

$$ m_1 \Delta t_1 = m_2 \Delta t_2. $$

Подставим изменения температур

Подставим $ \Delta t_1 = t_1 - t_{\text{смеси}} $ и $ \Delta t_2 = t_{\text{смеси}} - t_2 $:

$$ m_1 (t_1 - t_{\text{смеси}}) = m_2 (t_{\text{смеси}} - t_2). $$

Искомая величина

Неизвестной в этом уравнении является $ t_2 $, начальная температура холодной воды. Всё остальное нам известно:

• $ m_1 = 16 \, \text{кг} $,
• $ m_2 = 40 \, \text{кг} $,
• $ t_1 = 84 \, ^\circ\text{C} $,
• $ t_{\text{смеси}} = 34 \, ^\circ\text{C} $.

Таким образом, уравнение можно решить для $ t_2 $.