Аквариум содержит 20 л воды при температуре 14 °С. Сколько воды при температуре 40 °С надо добавить в аквариум, чтобы в нём установилась температура 20 °С?

Для решения этой задачи нужно использовать закон сохранения энергии, применяя понятие количества теплоты. Взаимодействие горячей и холодной воды можно рассматривать как обмен теплотой, при котором более горячая вода отдаёт тепло, а более холодная — принимает его.

Основные понятия и формулы:

1. Количество теплоты
   Количество теплоты $ Q $, которое получает или отдаёт тело при изменении температуры, можно рассчитать по формуле:
   $$ Q = cm\Delta t $$
   где:

   • $ c $ — удельная теплоёмкость вещества (для воды $ c = 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)} $),
   • $ m $ — масса вещества (в килограммах),
   • $ \Delta t $ — изменение температуры ($ \Delta t = t_{\text{конечная}} - t_{\text{начальная}} $).

2. Закон сохранения энергии
   В этой задаче предполагается, что система тепловых обменов изолирована (нет потерь тепла). Это значит, что сумма теплот, отданных горячей водой, и теплот, полученных холодной водой, равна нулю:
   $$ Q_{\text{отданное}} + Q_{\text{полученное}} = 0 $$
   Или:
   $$ |Q_{\text{отданное}}| = |Q_{\text{полученное}}| $$

3. Масса воды
   Массу воды можно найти через её объём, используя плотность. Плотность воды $ \rho $ равна $ 1000 \, \text{кг/м}^3 $. Таким образом:
   $$ m = \rho V $$
   где $ V $ — объём воды в кубических метрах (1 литр = 0,001 м³).

4. Обозначения
   Пусть:

   • $ V_1 = 20 \, \text{л} $ (объём холодной воды),
   • $ t_1 = 14 \, \degree \text{C} $ (начальная температура холодной воды),
   • $ t_2 = 40 \, \degree \text{C} $ (начальная температура горячей воды),
   • $ t_{\text{общая}} = 20 \, \degree \text{C} $ (температура смеси),
   • $ V_2 $ — объём горячей воды, который нужно найти.

5. Теплообмен между водой
   Когда две массы воды с разной температурой смешиваются, теплоотдача горячей воды равна теплопоглощению холодной воды. Это можно записать так:
   $$ Q_{\text{горячая}} = Q_{\text{холодная}} $$
   Учитывая, что температура воды изменяется, выражения для количеств теплоты станут:
   $$ c m_2 (t_2 - t_{\text{общая}}) = c m_1 (t_{\text{общая}} - t_1) $$
   Сокращая удельную теплоёмкость $ c $, так как она одинакова для обеих масс воды, получаем:
   $$ m_2 (t_2 - t_{\text{общая}}) = m_1 (t_{\text{общая}} - t_1) $$

6. Замена масс через объёмы
   Массы воды можно выразить через объёмы:
   $$ \rho V_2 (t_2 - t_{\text{общая}}) = \rho V_1 (t_{\text{общая}} - t_1) $$
   Плотность $ \rho $ также можно сократить, так как она одинакова для обеих масс воды:
   $$ V_2 (t_2 - t_{\text{общая}}) = V_1 (t_{\text{общая}} - t_1) $$

7. Выражение для неизвестного объёма $ V_2 $
   Переносим все известные величины в правую часть уравнения:
   $$ V_2 = \frac{V_1 (t_{\text{общая}} - t_1)}{t_2 - t_{\text{общая}}} $$

8. Подставление данных
   После того как уравнение выведено, можно подставить данные для расчёта:

   • $ V_1 = 20 \, \text{л} $,
   • $ t_1 = 14 \, \degree \text{C} $,
   • $ t_2 = 40 \, \degree \text{C} $,
   • $ t_{\text{общая}} = 20 \, \degree \text{C} $.

Это теоретическая основа для решения задачи.