В ванне смешали воду объёмом 120 л при температуре 10 °С и воду объёмом 160 л при температуре 70 °С. Найдите температуру смеси.

Для решения задачи о нахождении температуры смеси воды из двух объёмов с разными температурами используется понятие теплового баланса. Это базовый принцип, согласно которому в замкнутой системе, где отсутствуют потери тепла, количество тепла, отданное более нагретой водой, полностью равно количеству тепла, полученному холодной водой. Здесь предполагается, что теплообмен происходит только между двумя объёмами воды и нет теплопотерь в окружающую среду.

Основные понятия и законы, которые мы будем использовать:

1. Количество теплоты (Q): Количество теплоты, которое получает или теряет тело при изменении его температуры, рассчитывается по формуле: $$ Q = cm\Delta t, $$ где:
   • $ Q $ — количество теплоты (Дж),
   • $ c $ — удельная теплоёмкость вещества (Дж/(кг·°С)),
   • $ m $ — масса тела (кг),
   • $ \Delta t = t_{\text{конечная}} - t_{\text{начальная}} $ — изменение температуры (°С).

Для воды удельная теплоёмкость $ c $ равна примерно $ 4200 \, \text{Дж/(кг·°С)} $.

1. Связь массы и объёма воды:
   Для воды масса и объём связаны напрямую, так как плотность воды $ \rho $ составляет $ 1000 \, \text{кг/м}^3 $, или $ 1 \, \text{кг/л} $. Таким образом, масса воды в килограммах равна её объёму в литрах:
   $$ m = V \cdot \rho. $$
   Для данной задачи можно просто считать, что масса воды в килограммах равна объёму воды в литрах.

2. Принцип теплового баланса:
   Согласно закону сохранения энергии, в системе без теплопотерь:
   $$ Q_{\text{отданное}} = Q_{\text{полученное}}. $$

3. Температура смеси:
   Пусть конечная температура смеси, которую нужно найти, равна $ t_{\text{смеси}} $. Тогда:

   • Горячая вода отдаёт тепло, остужаясь до температуры $ t_{\text{смеси}} $: $ Q_{\text{горячее}} $.
   • Холодная вода нагревается до температуры $ t_{\text{смеси}} $: $ Q_{\text{холодное}} $. Используем принцип теплового баланса: $$ |Q_{\text{горячее}}| = Q_{\text{холодное}}, $$ или: $$ c m_{\text{горячее}} (t_{\text{горячее}} - t_{\text{смеси}}) = c m_{\text{холодное}} (t_{\text{смеси}} - t_{\text{холодное}}). $$

4. Упрощение уравнения:
   Так как удельная теплоёмкость $ c $ одинакова для обеих масс воды, её можно сократить:
   $$ m_{\text{горячее}} (t_{\text{горячее}} - t_{\text{смеси}}) = m_{\text{холодное}} (t_{\text{смеси}} - t_{\text{холодное}}). $$

5. Подстановка данных:
   На данном этапе вместо масс $ m_{\text{горячее}} $ и $ m_{\text{холодное}} $ можно подставить объёмы воды $ V_{\text{горячее}} $ и $ V_{\text{холодное}} $, так как масса равна объёму для воды:
   $$ V_{\text{горячее}} (t_{\text{горячее}} - t_{\text{смеси}}) = V_{\text{холодное}} (t_{\text{смеси}} - t_{\text{холодное}}). $$

6. Решение уравнения на $ t_{\text{смеси}} $:
   Это линейное уравнение с одной переменной $ t_{\text{смеси}} $. Решив его, можно найти конечную температуру смеси.

Итак, теоретическая база для решения задачи изложена.