К динамометру подвесьте груз массой 0,1 кг. Определите потенциальную энергию растянутой пружины. На сколько изменится потенциальная энергия пружины, если к динамометру подвесить груз массой 0,3 кг?
Дано:
$m_{1} = 0,1$ кг;
$m_{2} = 0,3$ кг.
Найти:
$Е_{п1}$ − ?
$ΔЕ_{п}$ − ?
Решение:
$\frac{m_{2}}{m_{1} } = \frac{0,3}{0,1} = 3$;
$m_{2} = 3m_{1}$;
Груз $m_{1}$ действует на пружину с силой:
$F_{1} = m_{1}g$;
Тогда жесткость пружины равна:
$F_{1} =kΔx_{1}$;
$k= \frac{F_{1}}{Δx_{1}} = \frac{m_{1}g}{Δx_{1}}$.
Груз $m_{2}$ действует на пружину с силой:
$F_{2} = m_{2}g$;
Растяжение пружины при увеличении массы груза равно:
$m_{2}g = kΔx_{2}$;
$Δx_{2}= \frac{m_{2}g}{k} = \frac{3m_{1}g}{\frac{m_{1}g}{Δx_{1}}} = 3Δx_{1}$;
Найдем потенциальную энергию пружины:
$E_{п1} = \frac{k * Δx_{1}^{2}}{2} = \frac{\frac{m_{1}g}{Δx_{1}} * Δx_{1}^{2}}{2} = \frac{m_{1}gΔx_{1}}{2}$;
g ≈10 Н/кг;
$Е_{п1} = \frac{0,1 * 10 * Δx_{1}}{2} = 0,5 Δx_{1}$;
$E_{п2} = \frac{k * Δx_{2}^{2}}{2} = \frac{\frac{m_{1}g}{Δx_{1}} * Δx_{2}^{2}}{2} = \frac{m_{1}gΔx_{2}^{2}}{2Δx_{1}} = \frac {m_{1}g(3Δx_{1})^{2}}{2Δx_{1}} = 9 * \frac{m_{1}gΔx_{1}^{2}}{2Δx_{1}} = 9 * \frac{m_{1}gΔx_{1}}{2} = 9 E_{п1}$;
Найдем изменение потенциальной энергии пружины:
$\frac{E_{п2} - E_{п1}}{E_{п1}} * 100 = \frac{9E_{п1} - E_{п1}}{E_{п1}} * 100$ = 800 %.
Ответ: 0,5 $Δx_{1}$; 800 %.
Для решения задачи необходимо подробно разобраться в основных физических понятиях и формулах, которые связаны с данной ситуацией. Вот теоретическая часть, которая поможет понять и решать задачу:
1. Потенциальная энергия.
Потенциальная энергия — это энергия, которую обладает тело в силу своего положения или состояния. Для потенциальной энергии, связанной с расстоянием растяжения или сжатия пружины, используется следующая формула:
$$ E_p = \frac{1}{2} k x^2 $$
где:
− $ E_p $ — потенциальная энергия пружины,
− $ k $ — жесткость пружины (пружинный коэффициент), измеряется в Н/м,
− $ x $ — удлинение или растяжение пружины, измеряется в метрах.
2. Закон Гука.
Пружина растягивается в соответствии с законом Гука, который утверждает, что сила, действующая на пружину, пропорциональна её удлинению:
$$ F = k x $$
где:
− $ F $ — сила упругости (Н),
− $ k $ — жесткость пружины (Н/м),
− $ x $ — удлинение пружины (м).
Сила, действующая на пружину, также равна весу подвешенного груза, то есть:
$$ F = mg $$
где:
− $ m $ — масса груза (кг),
− $ g $ — ускорение свободного падения (примерно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $ на поверхности Земли).
3. Связь массы груза и растяжения пружины.
С учетом закона Гука и формулы для веса груза, удлинение пружины можно выразить как:
$$ x = \frac{F}{k} = \frac{mg}{k} $$
Таким образом, растяжение пружины зависит от массы груза, жесткости пружины и ускорения свободного падения.
4. Потенциальная энергия пружины.
После определения удлинения $ x $, потенциальная энергия пружины рассчитывается по формуле:
$$ E_p = \frac{1}{2} k x^2 $$
Подставляя значение $ x = \frac{mg}{k} $, формула потенциальной энергии пружины принимает вид:
$$ E_p = \frac{1}{2} k \left( \frac{mg}{k} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{(mg)^2}{k} $$
Таким образом, потенциальная энергия пружины зависит от массы груза, ускорения свободного падения $ g $ и жесткости пружины $ k $.
5. Изменение потенциальной энергии.
Если масса груза изменяется, соответственно изменяется величина растяжения пружины, а значит, и её потенциальная энергия. Изменение потенциальной энергии можно найти как разницу между энергией в двух состояниях:
$$ \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} $$
где:
− $ E_{p2} $ — потенциальная энергия пружины с грузом массой $ m_2 $,
− $ E_{p1} $ — потенциальная энергия пружины с грузом массой $ m_1 $.
Для расчета $ \Delta E_p $ нужно вычислить энергию для каждого состояния груза отдельно, используя соответствующую массу.
Этот теоретический материал охватывает основные физические понятия, формулы и взаимосвязи, которые помогут выполнить расчеты.
Пожауйста, оцените решение
