Динамометр, рассчитанный на силу 40 Н, имеет пружину жёсткостью 500 Н/м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от начала шкалы до последнего деления?

Для того чтобы понять, как решить задачу, нужно разобрать несколько ключевых физических понятий и законов, которые связаны с данной ситуацией.

1. Закон Гука

Пружина — это упругое тело, которое может растягиваться или сжиматься под действием силы. Расширение или сжатие пружины подчиняется закону Гука, который формулируется следующим образом:

Сила упругости, возникающая при деформации пружины, пропорциональна её удлинению (или сжатию):
$$ F = k \cdot x, $$
где:
− $F$ — сила упругости, возникающая в пружине (Н),
− $k$ — жёсткость пружины (Н/м),
− $x$ — удлинение пружины (м).

2. Работа силы

Работа силы — это физическая величина, которая определяется как произведение силы на путь, пройденный под её действием, и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения:
$$ A = F \cdot s \cdot \cos \theta, $$
где:
− $A$ — работа силы (Дж),
− $F$ — сила (Н),
− $s$ — перемещение (м),
− $\cos \theta$ — косинус угла между силой и направлением перемещения.

Однако в случае растяжения пружины сила на протяжении всего растяжения изменяется, она не остаётся постоянной: сначала сила мала, но по мере растяжения пружины она увеличивается. Для вычисления работы в таких случаях используют интегрирование, либо более простой подход — через среднюю силу.

3. Работа при растяжении пружины

Работа, совершаемая для растяжения или сжатия пружины, рассчитывается по формуле, вытекающей из закона Гука и интегрирования:
$$ A = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2, $$
где:
− $A$ — работа (Дж),
− $k$ — жёсткость пружины (Н/м),
− $x$ — удлинение пружины, на которое её растянули (м).

Эта формула учитывает то, что сила изменяется линейно от нуля до максимального значения при растяжении пружины.

4. Взаимосвязь силы и удлинения

Если известно, что динамометр рассчитан на силу $F_\text{max}$, то можно найти максимальное удлинение пружины ($x_\text{max}$) из закона Гука:
$$ x_\text{max} = \frac{F_\text{max}}{k}. $$

5. Единицы измерения

Важно убедиться, что все величины находятся в согласованных единицах:
− Сила ($F$) измеряется в Ньютонах ($Н$),
− Жёсткость ($k$) измеряется в Ньютонах на метр ($Н/м$),
− Удлинение ($x$) измеряется в метрах ($м$),
− Работа ($A$) измеряется в Джоулях ($Дж$).

6. Алгоритм решения задачи

Для решения задачи нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти максимальное удлинение пружины ($x_\text{max}$) с использованием закона Гука:
$$ x_\text{max} = \frac{F_\text{max}}{k}. $$

1. Подставить найденное значение $x_\text{max}$ в формулу для работы, чтобы найти работу, необходимую для растяжения пружины до последнего деления: $$ A = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x_\text{max}^2. $$

Таким образом, работа зависит от максимальной силы ($F_\text{max}$) и жёсткости ($k$) пружины.