Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть недеформированную пружину жёсткостью $10^{3}$ Н/м на 10 см; чтобы растянуть пружину ещё на 10 см?

Для решения задачи необходимо понять, как вычисляется работа силы упругости пружины при её растяжении или сжатии. Давайте разберём теорию, связанную с законом Гука и формулой работы.

1. Закон Гука.
Сила упругости $ F $, возникающая в пружине при её деформации (растяжении или сжатии), определяется законом Гука:
$$ F = k \cdot x, $$
где:
• $ F $ — сила упругости (Н);
• $ k $ — жёсткость пружины (Н/м);
• $ x $ — величина деформации (м).

Закон Гука описывает линейную зависимость между силой упругости и степенью деформации пружины. Чем больше растянуты витки пружины, тем больше сила упругости.

2. Работа силы.
Работа силы $ A $ определяется как произведение силы $ F $ на перемещение $ x $, если сила постоянна:
$$ A = F \cdot x. $$

Однако в случае пружины сила упругости изменяется в процессе растяжения: сначала она мала, а затем постепенно увеличивается по мере возрастания деформации $ x $. То есть сила $ F $ распределена неравномерно по длине растяжения. Для нахождения работы в таких случаях нужно использовать интегральный подход.

3. Работа силы упругости пружины.
Работа силы упругости при растяжении пружины от её начального (недеформированного) состояния до некоторой деформации $ x $ вычисляется как площадь под графиком зависимости силы $ F $ от деформации $ x $. Поскольку эта зависимость линейна ($ F = k \cdot x $), график представляет собой прямую линию, и его площадь — это площадь треугольника.

Формула для работы силы упругости выводится как:
$$ A = \frac{1}{2} k x^2, $$
где:
• $ A $ — работа силы упругости (Дж);
• $ k $ — жёсткость пружины (Н/м);
• $ x $ — величина деформации (м).

Эта формула показывает, что работа силы упругости пропорциональна квадрату величины деформации пружины. Таким образом, при удвоении деформации работа увеличивается в четыре раза.

4. Работа при растяжении пружины на два этапа.
Если нужно растянуть пружину сначала на 10 см, а затем ещё на 10 см:
− Для первого этапа (растяжение от $ x_1 = 0 $ до $ x_2 = 0.1 \, \text{м} $):
Работа вычисляется по формуле $ A = \frac{1}{2} k x^2 $, где $ x = 0.1 \, \text{м} $.

• Для второго этапа (дополнительное растяжение от $ x_2 = 0.1 \, \text{м} $ до $ x_3 = 0.2 \, \text{м} $): Работа силы упругости при увеличении растяжения на 10 см вычисляется как разность работ для соответствующих деформаций: $$ A_{\text{дополнительно}} = A(x_3) - A(x_2), $$ где: $$ A(x_3) = \frac{1}{2} k x_3^2, \quad A(x_2) = \frac{1}{2} k x_2^2. $$

Таким образом, общая работа складывается из двух частей: работы на первом этапе и работы на втором этапе.

5. Итоговая теоретическая часть.
Для решения задачи нужно:
1) Применить закон Гука для определения силы упругости.
2) Использовать формулу работы $ A = \frac{1}{2} k x^2 $ для вычисления работы на каждом этапе.
3) Определить разность работ для дополнительного растяжения.
4) Убедиться, что единицы измерения соответствуют системе СИ (метры, ньютоны, джоули).