Задача Архимеда. Из чистого ли золота изготовлена царская корона, если её вес в воздухе 28,2 Н, а в воде − 26,4 Н?

Чтобы решить эту задачу, необходимо понять теоретическую основу явлений, связанных с погружением тел в жидкости, а также научиться применять законы гидростатики и механики.

Архимедова сила и её действие

Когда тело погружается в жидкость, на него начинает действовать выталкивающая сила, называемая Архимедовой силой. Эта сила возникает из−за разности давлений, действующих на разные части погружённого тела, и направлена вертикально вверх. Архимедова сила рассчитывается следующим образом:

FАрх = ρж * g * V_тела,

где:
− F_Арх — выталкивающая сила (Архимедова сила),
− ρ_ж — плотность жидкости, в которую погружено тело (для воды примерно 1000 кг/м³),
− g — ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²),
− V_тела — объём тела (или объём вытесненной жидкости).

Таким образом, величина Архимедовой силы зависит от объёма погружённого тела и плотности жидкости.

Взаимодействие тела с жидкостью

Когда тело погружено в жидкость, его вес в жидкости становится меньше, чем вес в воздухе. Это происходит потому, что выталкивающая сила частично компенсирует силу тяжести, действующую на тело.
Вес тела в воде (или кажущийся вес) — это разница между силой тяжести на тело и Архимедовой силой:
Fвода = Fвоздух − F_Арх.

Здесь:
− F_вода — вес тела в воде,
− F_воздух — вес тела в воздухе,
− F_Арх — Архимедова сила.

Определение плотности материала тела

Плотность материала тела можно определить из соотношения массы тела и его объёма:
ρтела = m / Vтела,

где:
− ρ_тела — плотность материала тела,
− m — масса тела,
− V_тела — объём тела.

Массу тела можно найти по его весу в воздухе:
m = F_воздух / g.

Объём тела можно определить, используя величину выталкивающей силы (или вес тела в воде):
FАрх = ρж * g * V_тела
=> Vтела = FАрх / (ρ_ж * g).

Сравнение плотностей

Чтобы выяснить, изготовлена ли корона из чистого золота, нужно сравнить вычисленную плотность материала короны с табличной плотностью золота. Плотность золота известна и составляет приблизительно ρ_золота = 19300 кг/м³.

Если вычисленная плотность короны оказывается существенно меньше плотности золота, то это означает, что корона изготовлена не из чистого золота, а содержит другие материалы.

Алгоритм решения задачи

1. Найти массу короны по её весу в воздухе: m = F_воздух / g.
2. Вычислить Архимедову силу, используя разницу между весом короны в воздухе и её весом в воде: FАрх = Fвоздух − F_вода.
3. Определить объём короны из Архимедовой силы: Vтела = FАрх / (ρ_ж * g).
4. Рассчитать плотность материала короны, используя массу и объём: ρтела = m / Vтела.
5. Сравнить вычисленное значение плотности короны с табличной плотностью золота.

Если плотности совпадают, то корона изготовлена из чистого золота; если нет, то корона содержит примеси других материалов.