В гидравлической машине площади поршней соответственно равны 20 и 200 $см^{2}$. На малый поршень поставили гирю массой 4 кг. Какую гирю нужно поставить на большой поршень, чтобы давление на поршни было одинаковым?

Для решения задачи важно понять принцип работы гидравлической машины и законы, определяющие её работу. Основываясь на принципе Паскаля, гидравлическая машина функционирует благодаря равномерному распределению давления в жидкости, находящейся в покое.

1. Принцип Паскаля:
Принцип Паскаля утверждает, что давление, оказываемое на жидкость в покое, передаётся одинаково во всех направлениях. Это означает, что если в закрытом сосуде на жидкость оказывается давление, то это давление передаётся без изменений ко всем точкам жидкости и стенкам сосуда.

2. Выражение давления:
Давление $p$ определяется как сила $F$, действующая на поверхность, делённая на площадь этой поверхности $S$:
$$ p = \frac{F}{S}. $$
Здесь:
− $p$ — давление (в паскалях, Па),
− $F$ — сила, действующая на поршень (в ньютонах, Н),
− $S$ — площадь поверхности поршня (в квадратных метрах, $м^2$).

3. Равенство давлений в гидравлической машине:
В гидравлической машине давление под каждым из поршней одинаково, так как жидкость передаёт его без изменений. Это можно записать как:
$$ p_1 = p_2, $$
где $p_1$ и $p_2$ — давление под малым и большим поршнем соответственно.

Подставляя определение давления $p = \frac{F}{S}$, получим:
$$ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}. $$
Здесь:
− $F_1$ — сила, действующая на малый поршень,
− $S_1$ — площадь малого поршня,
− $F_2$ — сила, действующая на большой поршень,
− $S_2$ — площадь большого поршня.

4. Связь силы и массы:
Сила $F$, действующая на поршень, связана с массой $m$ груза, находящегося на поршне, через закон всемирного тяготения:
$$ F = mg, $$
где:
− $m$ — масса тела (в килограммах, кг),
− $g$ — ускорение свободного падения (около $9.8 \, м/с^2$).

Таким образом, для каждого поршня сила определяется как:
$$ F_1 = m_1 g, \quad F_2 = m_2 g, $$
где $m_1$ и $m_2$ — массы грузов на малом и большом поршнях соответственно.

5. Подстановка в равенство давлений:
Подставляя выражение для силы в формулу равенства давлений, получаем:
$$ \frac{m_1 g}{S_1} = \frac{m_2 g}{S_2}. $$
Сокращая $g$ (так как оно одинаково для обеих сторон), приходим к следующему соотношению:
$$ \frac{m_1}{S_1} = \frac{m_2}{S_2}. $$

6. Выражение массы на большом поршне:
Из формулы выше можно выразить массу $m_2$ на большом поршне:
$$ m_2 = m_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}. $$

7. Переход к численным значениям:
− Площади поршней заданы в квадратных сантиметрах ($cm^2$), но для расчётов они могут быть использованы напрямую, так как единицы площади сократятся в соотношении.
− Масса груза на малом поршне $m_1 = 4 \, \text{кг}$.
− Площадь малого поршня $S_1 = 20 \, \text{cm}^2$, а большого $S_2 = 200 \, \text{cm}^2$.

Подставляя значения в формулу, можно найти значение $m_2$, массы груза на большом поршне.