Сообщающиеся сосуды заполнены водой. На сколько повысится уровень воды в левой трубке, если в правую налить керосина столько, что он образует столбик высотой Н = 20 см?
Дано:
$H = 20 см$;
$ρ_{в} = 1000 кг/м^{3}$;
$ρ_{к} = 800 кг/м^{3}$;
Найти:
h − ?
СИ:
$H = 0,2м$;
Решение:
Предположим, что в левой трубке уровень воды повысится на h. Тогда в правой трубке уровень воды будет ниже, чем в левой, на 2h. Так как жидкости находятся в равновесии, то
$gρ_{в}2h = gρ_{к}H$;
$ρ_{в}2h = ρ_{к}H$;
$h = \frac{ρ_{к} * H}{2ρ_{в}}$;
$h = \frac{800 * 0,2}{2 * 1000}$;
h = 0,08 м = 8 см.
Уровень воды в левой трубке повысится на 8 см.
Найдем уровень воды в левой трубке, если в правую налить керосина столько, что он образует столбик высотой Н = 20 см.
Так как столбы уравновешаны, то:
$p_{в} = p_{к}$;
$p_{в} = gρ_{в}h$;
$p_{к} = gρ_{к}H$;
$ gρ_{в}h= gρ_{к}H$;
$ρ_{в}h= ρ_{к}H$;
$h = \frac{ρ_{к} * H}{ρ_{в}}$;
$h= \frac{800 * 0,2}{1000} = 0,16 =$ м = 16 см.
Ответ: Уровень воды в левой трубке повысится на 8 см. Уровень воды в левой трубке − 16 см.
Для решения этой задачи сначала нужно разобраться с физическими принципами, которые регулируют поведение жидкости в сообщающихся сосудах. Ниже приведена теоретическая часть.
Сообщающиеся сосуды и принцип их работы
Сообщающиеся сосуды — это система сосудов, соединенных между собой внизу таким образом, что жидкости могут свободно перемещаться между ними. Основной принцип сообщающихся сосудов заключается в уравновешивании давления столбов жидкости в разных частях системы. В состоянии равновесия уровни жидкости (или эквивалентное давление на дне) в сообщающихся сосудах будут одинаковыми.
Давление в жидкости
Давление в жидкости на определенной глубине определяется формулой:
$$
P = \rho g h
$$
где:
$ P $ — давление на определенной глубине, Па,
$ \rho $ — плотность жидкости, кг/м³,
$ g $ — ускорение свободного падения, м/с² (обычно $ g = 9.8 \, \mathrm{м/с^2} $),
$ h $ — высота столба жидкости, м.
Давление на одном и том же уровне для жидкостей в сообщающихся сосудах должно быть одинаковым. Если в одной из трубок жидкости разного рода, их плотности необходимо учитывать.
Роль плотности жидкости
Если в одну из частей сообщающихся сосудов добавляют другую жидкость, то её плотность играет ключевую роль. Чем больше плотность жидкости, тем меньшая высота столба создаёт то же давление. Например, вода имеет плотность $ \rho_{\text{вода}} = 1000 \, \mathrm{кг/м^3} $, а керосин — меньшую плотность, обычно $ \rho_{\text{керосин}} \approx 800 \, \mathrm{кг/м^3} $. Это означает, что при одинаковом давлении столб керосина будет выше, чем столб воды.
Уравнение гидростатического равновесия
На уровне, где жидкости соприкасаются или оказывают давление на дно сосуда через соединяющую их часть, выполняется условие равенства давлений:
$$
P_{\text{вода}} = P_{\text{керосин}}
$$
Используя формулу давления, это можно записать как:
$$
\rho_{\text{вода}} g h_{\text{вода}} = \rho_{\text{керосин}} g h_{\text{керосин}}
$$
Здесь:
$ h_{\text{вода}} $ — изменение высоты столба воды в левой трубке,
$ h_{\text{керосин}} $ — высота столба керосина в правой трубке (известное значение $ H = 20 \, \text{см} $).
Обратите внимание, что ускорение свободного падения $ g $ присутствует с обеих сторон и сокращается в уравнении.
Решение задачи
Уравнение гидростатического равновесия позволяет найти, на сколько изменится уровень в левой трубке (уровень воды) при добавлении столба керосина в правую трубку. После сокращения $ g $ и подстановки значений плотностей жидкостей и высоты керосина уравнение примет вид:
$$
\rho_{\text{вода}} h_{\text{вода}} = \rho_{\text{керосин}} h_{\text{керосин}}
$$
или
$$
h_{\text{вода}} = \frac{\rho_{\text{керосин}}}{\rho_{\text{вода}}} h_{\text{керосин}}
$$
Здесь $ h_{\text{керосин}} = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м} $, а плотности воды ($ \rho_{\text{вода}} $) и керосина ($ \rho_{\text{керосин}} $) нужно будет подставить.
Изменение уровня воды
При добавлении жидкости в одну из трубок уровень в другой трубке изменяется. Это связано с тем, что общий объем жидкости в сообщающихся сосудах остаётся постоянным, если сосуды закрыты. Повышение уровня воды в одной трубке будет эквивалентно изменению давления, вызванного добавленной жидкостью в другой трубке.
Эта теоретическая база покрывает все аспекты, необходимые для решения задачи.
Пожауйста, оцените решение
