Столб воды в сообщающихся сосудах высотой 17,2 см уравновешивает столб дизельного топлива высотой 20 см. Определите плотность дизельного топлива.

Для решения данной задачи сначала разберемся с физическими принципами, которые лежат в основе данного явления.

Сообщающиеся сосуды — это сосуды, соединённые таким образом, что жидкость может свободно перетекать из одного сосуда в другой. Основной принцип работы этих сосудов говорит, что в состоянии покоя уровень жидкости в обоих сосудах одинаков или компенсируется разницей в плотностях жидкостей, если в сосудах находятся разные жидкости.

Важное физическое понятие здесь — это гидростатическое давление. Гидростатическое давление создаётся весом столба жидкости, находящейся над рассматриваемой точкой. Формула для расчёта гидростатического давления записывается следующим образом:

$$ P = \rho g h, $$

где
− $P$ — гидростатическое давление, Па;
− $\rho$ — плотность жидкости, кг/м³;
− $g$ — ускорение свободного падения, м/с² (примерно $9,8 \, \text{м/с}^2$);
− $h$ — высота столба жидкости, м.

Принцип равновесия в сообщающихся сосудах

Если сообщающиеся сосуды находятся в состоянии равновесия, то гидростатическое давление, создаваемое жидкостью в одном сосуде на уровне соединения сосудов, будет равно гидростатическому давлению, создаваемому другой жидкостью в другом сосуде на том же уровне. Это происходит из−за того, что давление в одной точке жидкости передаётся во всех направлениях одинаково (закон Паскаля).

Таким образом, для двух жидкостей в сообщающихся сосудах, имеющих разные плотности ($\rho_1$ и $\rho_2$) и разные высоты столбов ($h_1$ и $h_2$), условие равенства гидростатического давления можно записать как:

$$ \rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2. $$

Обратите внимание, что ускорение свободного падения ($g$) одинаково для обеих жидкостей, поэтому оно сокращается из уравнения:

$$ \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2. $$

Как связаны плотности и высоты столбов жидкостей

Из вышеуказанного уравнения видно, что отношение плотностей двух жидкостей обратно пропорционально отношению высот их столбов:

$$ \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{h_2}{h_1}. $$

Или, если выразить плотность одной жидкости через плотность другой:

$$ \rho_2 = \rho_1 \cdot \frac{h_1}{h_2}. $$

Где:
− $\rho_2$ — плотность второй жидкости (дизельного топлива в данном случае),
− $\rho_1$ — плотность первой жидкости (воды),
− $h_1$ — высота столба первой жидкости (воды),
− $h_2$ — высота столба второй жидкости (дизельного топлива).

Данные задачи

• Плотность воды ($\rho_1$) известна, она приблизительно равна $1000 \, \text{кг/м}^3$ (в случае точных расчётов можно использовать табличное значение плотности воды при заданной температуре).
• Высота столба воды $h_1 = 17,2 \, \text{см} = 0,172 \, \text{м}$.
• Высота столба дизельного топлива $h_2 = 20 \, \text{см} = 0,2 \, \text{м}$.

Теперь, подставив известные значения в формулу для $\rho_2$, можно определить плотность дизельного топлива.

Обратите внимание: решение задачи предполагает, что ускорение свободного падения ($g$) одинаково для обеих жидкостей, а внешние условия (например, атмосферное давление) не оказывают влияния на разницу высот жидкостей.