Какой высоты колонну можно было бы изготовить из целого куска гранита, чтобы она не разрушилась под действием собственной силы тяжести? Допустимое давление гранита равно 270 МПа.

Для решения задачи необходимо учитывать несколько физических принципов и свойств материала.

Во−первых, важно понимать, что гранит будет разрушаться под действием собственной силы тяжести, если давление (напряжение) в нижней части колонны превышает допустимое давление для гранита. Это допустимое давление также называют пределом прочности при сжатии.

Во−вторых, нужно рассчитать давление на основании колонны, создаваемое весом всей колонны. Давление (или напряжение) в данном контексте определяется как сила, действующая на единицу площади. Для колонны из гранита давление на основании равно весу колонны, деленному на площадь основания:

$$ P = \frac{F}{A} $$

где $ P $ − давление, $ F $ − сила (вес колонны), $ A $ − площадь основания колонны.

Вес (сила тяжести) колонны можно выразить через массу и ускорение свободного падения:

$$ F = mg $$

где $ m $ − масса колонны, $ g $ − ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с²).

Массу колонны можно найти, зная плотность гранита ($ \rho $) и объем колонны ($ V $):

$$ m = \rho V $$

Объем колонны с прямоугольным или квадратным сечением можно найти как площадь основания, умноженную на высоту ($ h $):

$$ V = Ah $$

Таким образом, вес колонны можно записать как:

$$ F = \rho V g = \rho A h g $$

Теперь подставим это выражение в формулу для давления:

$$ P = \frac{F}{A} = \frac{\rho A h g}{A} = \rho h g $$

Здесь $ \rho $ − плотность гранита, $ h $ − высота колонны, $ g $ − ускорение свободного падения.

Из условия задачи известно, что допустимое давление гранита равно 270 МПа. Чтобы колонна не разрушилась, давление $ P $ в нижней части колонны не должно превышать это значение. Составим неравенство:

$$ \rho h g \leq P_{доп} $$

где $ P_{доп} $ − допустимое давление гранита.

Выражение:

$$ h \leq \frac{P_{доп}}{\rho g} $$

Таким образом, для нахождения высоты колонны нужно:

1. Определить плотность гранита $ \rho $.
2. Преобразовать давление $ P_{доп} $ в паскали (если оно дано в мегапаскалях).
3. Учитывать значение ускорения свободного падения $ g $.

Это выражение дает возможность найти максимальную высоту колонны из гранита, при которой она не разрушится под действием собственной силы тяжести.