Цилиндр, изготовленный из алюминия, имеет высоту 10 см. Какую высоту имеет медный цилиндр такого же диаметра, если он оказывает на стол такое же давление?
Дано:
$h_{ал} = 10$ см;
$ρ_{ал } = 2700 кг/м^{3}$;
$ρ_{м} = 8900 кг/м^{3}$;
$p_{ал} = p_{м}$;
$d_{ал} = d_{м}$.
Найти:
$h_{м}$ − ?
СИ:
$h_{ал} = 0,1$ м.
Решение:
$p=\frac{F}{S}$;
F=mg;
m = ρV;
V = hS;
$p=\frac{ρghS}{S} = ρgh$;
$p_{ал} = p_{м}$;
$ρ_{ал}gh_{ал} = ρ_{м}gh_{м}$;
$ρ_{ал}h_{ал}= ρ_{м}h_{м}$;
$h_{м} = \frac{ρ_{ал}h_{ал}}{ρ_{м}}$;
$h_{м} = \frac{2700 * 0,1}{8900}= 0,03$ м = 3 см;
Ответ: 3 см.
Для решения данной задачи необходимо учитывать следующие аспекты физики, связанные с давлением, массой, плотностью и объемом:
Давление ($P$) определяется как сила ($F$), действующая на определённую площадь ($S$), формула выражается как:
$$
P = \frac{F}{S}.
$$
В данном случае сила $F$ — это вес цилиндра, который определяется как произведение массы цилиндра на ускорение свободного падения ($g$), то есть:
$$
F = m \cdot g.
$$
Площадь $S$ — площадь основания цилиндра, так как именно основание соприкасается с поверхностью, куда давление передаётся.
Объем цилиндра ($V$) вычисляется по формуле:
$$
V = S \cdot h,
$$
где $h$ — высота цилиндра, $S$ — площадь его основания. Основание цилиндра имеет форму круга, поэтому площадь круга вычисляется как:
$$
S = \pi \cdot r^2,
$$
где $r$ — радиус основания цилиндра.
Масса цилиндра ($m$) связана с его объемом ($V$) и плотностью ($\rho$) материала, из которого он изготовлен:
$$
m = \rho \cdot V.
$$
Таким образом, для цилиндра:
$$
m = \rho \cdot S \cdot h.
$$
Подставляя это выражение в формулу для силы:
$$
F = \rho \cdot S \cdot h \cdot g.
$$
Теперь формулу давления можно написать через плотность, радиус и высоту цилиндра:
$$
P = \frac{F}{S} = \frac{\rho \cdot S \cdot h \cdot g}{S} = \rho \cdot h \cdot g.
$$
Таким образом, давление цилиндра зависит только от плотности материала ($\rho$), высоты ($h$) и ускорения свободного падения ($g$).
В задаче говорится, что два цилиндра оказывают одинаковое давление на стол. Следовательно, давления алюминиевого и медного цилиндров равны:
$$
P_\text{алюминий} = P_\text{медь}.
$$
Подставим выражение для давления:
$$
\rho_\text{алюминий} \cdot h_\text{алюминий} \cdot g = \rho_\text{медь} \cdot h_\text{медь} \cdot g.
$$
Ускорение свободного падения ($g$) одинаковое для всех тел, поэтому оно сокращается:
$$
\rho_\text{алюминий} \cdot h_\text{алюминий} = \rho_\text{медь} \cdot h_\text{медь}.
$$
Из этого выражения можно найти высоту медного цилиндра ($h_\text{медь}$):
$$
h_\text{медь} = \frac{\rho_\text{алюминий} \cdot h_\text{алюминий}}{\rho_\text{медь}}.
$$
Для решения задачи нужно знать плотности материалов:
− Плотность алюминия ($\rho_\text{алюминий}$) ≈ $2700 \, \text{кг/м}^3$,
− Плотность меди ($\rho_\text{медь}$) ≈ $8900 \, \text{кг/м}^3$.
После подстановки этих значений в формулу можно определить высоту медного цилиндра.
Пожауйста, оцените решение
