Один из героев романа Н. Г. Чернышевского «Что делать?», закаляя свою волю, спал на доске с гвоздями (остриями вверх). Оцените, из какого числа гвоздей должно было состоять ложе героя, считая, что его масса 70 кг, острие каждого гвоздя имеет площадь 0,1 $мм^{2}$, а человеческая кожа может выдерживать давление 3 МПа.

Для решения задачи мы должны применить основные понятия физики, связанные с давлением, силой и площадью.

Давление — это физическая величина, которая показывает, какая сила действует на единицу площади. Давление обозначается буквой $ p $ и выражается формулой:
$$ p = \frac{F}{S}, $$
где:
$ p $ — давление, $ \text{Па} $ (паскали),
$ F $ — сила, действующая на поверхность, $ \text{Н} $ (ньютон),
$ S $ — площадь, на которую действует сила, $ \text{м}^2 $.

В данной задаче нужно учитывать давление, выдерживаемое человеческой кожей. Если давление превышает допустимое значение (в данном случае $ 3 \, \text{МПа} = 3 \cdot 10^6 \, \text{Па} $), то происходит повреждение кожи. Поэтому задача заключается в расчете количества гвоздей, на которые распределяется сила тяжести героя, таким образом, чтобы давление на кожу не превышало $ 3 \, \text{МПа} $.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля притягивает тела к своей поверхности. Сила тяжести рассчитывается по формуле:
$$ F = m \cdot g, $$
где:
$ F $ — сила тяжести, $ \text{Н} $,
$ m $ — масса тела, $ \text{кг} $,
$ g $ — ускорение свободного падения (равное примерно $ 9,8 \, \text{м/с}^2 $).

Масса героя известна и равна $ m = 70 \, \text{кг} $. Сила тяжести, с которой герой действует на свое ложе, будет равна:
$$ F = 70 \cdot 9,8 = 686 \, \text{Н}. $$

Далее, чтобы определить количество гвоздей, нужно учитывать, что каждое гвоздь принимает на себя часть силы тяжести героя, которая распределяется на площади его острия. Площадь острия одного гвоздя составляет $ S_{\text{гвоздя}} = 0,1 \, \text{мм}^2 $. В системе СИ площадь нужно перевести в квадратные метры:
$$ S_{\text{гвоздя}} = 0,1 \, \text{мм}^2 = 0,1 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2 = 10^{-7} \, \text{м}^2. $$

Чтобы кожа героя не испытывала давления больше допустимого ($ 3 \, \text{МПа} $), на каждое острие гвоздя должно действовать давление, равное или меньшее этого значения. Давление, создаваемое каждым гвоздем, выражается как:
$$ p = \frac{F_{\text{гвоздя}}}{S_{\text{гвоздя}}}, $$
где:
$ F_{\text{гвоздя}} $— сила, приходящаяся на один гвоздь.

Общая сила тяжести $ F $ распределяется равномерно между всеми гвоздями. Если количество гвоздей обозначить как $ N $, то сила, приходящаяся на один гвоздь, будет:
$$ F_{\text{гвоздя}} = \frac{F}{N}. $$

Подставляя $ F_{\text{гвоздя}} $ в формулу давления $ p $, получим:
$$ p = \frac{\frac{F}{N}}{S_{\text{гвоздя}}} = \frac{F}{N \cdot S_{\text{гвоздя}}}. $$

Для того чтобы давление на кожу не превышало $ 3 \, \text{МПа} $, необходимо выполнить условие:
$$ p \leq 3 \cdot 10^6 \, \text{Па}. $$

Подставляя значения $ F = 686 \, \text{Н} $, $ S_{\text{гвоздя}} = 10^{-7} \, \text{м}^2 $, и $ p = 3 \cdot 10^6 \, \text{Па} $, можно найти минимальное значение $ N $ — количество гвоздей, на которые распределяется сила тяжести героя.