В Санкт−Петербурге для проверки времени ежедневно в полдень производится сигнальный выстрел из артиллерийских орудий, находящихся в Петропавловской крепости. В пределах какого расстояния от орудий расположены места, где запаздывание сигнала точного времени по сравнению с передаваемым по радио не превышает 10 с?

Чтобы решить задачу, важно рассмотреть понятие скорости распространения звука в воздухе и понять, как она влияет на время, которое требуется звуковому сигналу, чтобы достичь различных точек пространства.

Скорость звука
Звук представляет собой механическую волну, которая распространяется через упругую среду, в данном случае — через воздух. Скорость звука в воздухе зависит от температуры, давления и состава воздуха, но наиболее важным фактором является температура. При нормальных условиях (температура воздуха около 20 °C) скорость звука в воздухе составляет примерно 343 м/с. Если температура воздуха изменяется, скорость звука также изменяется: с увеличением температуры скорость возрастает, а с её снижением — уменьшается. Для упрощения расчетов в школьных задачах наиболее часто используется значение скорости звука 343 м/с.

Движение звуковой волны
Звуковая волна распространяется в воздухе, начиная от источника (в данном случае артиллерийского орудия) и достигает точки наблюдения. Время, необходимое звуковой волне для достижения этой точки, можно рассчитать по формуле:
$$ t = \frac{s}{v} $$,
где:
− $ t $ — время, за которое звук достигает точки наблюдения (в секундах);
− $ s $ — расстояние от источника звука до точки наблюдения (в метрах);
− $ v $ — скорость звука в воздухе (в метрах в секунду).

Если известно время, за которое звуковой сигнал достигает точки наблюдения, и скорость звука в воздухе, то можно определить расстояние от источника звука до этой точки, используя ту же формулу, но в виде:
$$ s = v \cdot t $$.

Сравнение с радио
Радио передаёт сигнал практически мгновенно, так как электромагнитные волны (радиоволны) распространяются с огромной скоростью — это скорость света, которая равна приблизительно $ c = 3 \cdot 10^8 $ м/с. На практике задержка сигнала по радио настолько мала, что её можно считать пренебрежимо малой.

Когда выстрел происходит в полдень, радио передаёт информацию об этом мгновенно, а звуковой сигнал достигает слушателя позже, так как его скорость значительно меньше скорости света. Чем больше расстояние от источника звука до слушателя, тем больше времени потребуется звуку, чтобы достичь слушателя. Следовательно, на большом расстоянии задержка звукового сигнала становится заметной и может превышать 10 секунд.

Запаздывание звукового сигнала
Для мест, где запаздывание звукового сигнала не превышает 10 секунд, можно рассчитать максимальное расстояние $ s $ от источника звука, используя формулу $ s = v \cdot t $, где:
− $ v = 343 $ м/с — скорость звука при нормальных условиях;
− $ t = 10 $ с — максимально допустимое время запаздывания.

В данной задаче требуется определить радиус области, в пределах которой задержка звукового сигнала по сравнению с радиосигналом не превышает 10 секунд. Чтобы решить задачу, нужно подставить известные значения в формулу и вычислить $ s $. Это расстояние будет равно радиусу области, где задержка звука по сравнению с радио не превышает указанное время.