Часы с маятником идут точно при длине маятника 55,8 см. На сколько отстанут часы за одни сутки, если длина маятника увеличится на 0,5 см?

Для решения этой задачи важно понять, как изменяется период колебаний маятника при изменении его длины. Разберем теоретическую часть подробно.

1. Принцип работы маятника:
   Маятник — это физическое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести. В идеальных условиях его движение можно описать законами гармонических колебаний. Период колебаний маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения.

2. Формула периода маятника:
   Для идеального математического маятника, период $ T $ рассчитывается по формуле:
   $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$
   где:

   • $ T $ — период колебаний маятника (в секундах),
   • $ L $ — длина маятника (в метрах),
   • $ g $ — ускорение свободного падения (в метрах на секунду в квадрате),
   • $ \pi $ — математическая константа, приблизительно равная $ 3.14159 $.

3. Влияние длины маятника на период:
   Из формулы видно, что период колебаний $ T $ прямо пропорционален квадратному корню из длины маятника $ L $. Если длина маятника увеличивается, то и период увеличивается, так как $ T $ зависит от $ \sqrt{L} $.

4. Частота колебаний:
   Частота $ \nu $ связана с периодом следующим образом:
   $$ \nu = \frac{1}{T} $$
   Увеличение периода $ T $ означает уменьшение частоты $ \nu $. Так как часы с маятником измеряют время, используя равномерные колебания, изменение периода приводит к отклонению часов от точного хода.

5. Суточное время:
   В сутки 24 часа, каждый из которых содержит 3600 секунд. То есть общее количество секунд в сутках:
   $$ t_{\text{сутки}} = 24 \times 3600 = 86400 \, \text{с}. $$
   Если маятник отклоняется от своей исходной длины, его период изменяется, и за сутки он совершит меньшее или большее количество колебаний по сравнению с точными часами.

6. Относительная ошибка периода:
   Если длина маятника изменяется на небольшую величину $ \Delta L $, то можно использовать приближенное изменение периода. Относительное изменение периода можно выразить как долю от исходного периода:
   $$ \frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}. $$
   Здесь:

   • $ \Delta T $ — изменение периода,
   • $ \Delta L $ — изменение длины маятника,
   • $ L $ — исходная длина маятника.

Увеличение длины маятника на $ \Delta L $ приведет к увеличению периода $ T $, а значит, часы будут идти медленнее. За сутки это накопится в виде отставания.

1. Общее отклонение времени за сутки: Если период увеличился на $ \Delta T $, то за одно колебание маятник опаздывает на $ \Delta T $. За сутки, при общем числе колебаний $ N $, общее опоздание часов составит: $$ \Delta t = N \cdot \Delta T, $$ где $ N = \frac{t_{\text{сутки}}}{T} $ — общее количество колебаний за сутки при исходном периоде $ T $.

Если выразить $ \Delta t $ через относительное изменение периода, получится:
$$ \Delta t = t_{\text{сутки}} \cdot \frac{\Delta T}{T}. $$
Подставляя $ \frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} $, находим:
$$ \Delta t = t_{\text{сутки}} \cdot \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}. $$

1. Итоговая формула отклонения: Формула позволяет рассчитать, на сколько секунд отстанут (или убегут) часы за сутки при изменении длины маятника: $$ \Delta t = \frac{t_{\text{сутки}}}{2} \cdot \frac{\Delta L}{L}. $$

Теперь, имея эту теоретическую базу, вы можете подставить значения: $ t_{\text{сутки}} = 86400 \, \text{с} $, $ \Delta L = 0.5 \, \text{см} = 0.005 \, \text{м} $, $ L = 55.8 \, \text{см} = 0.558 \, \text{м} $, и рассчитать величину отклонения времени.