На сколько отстанут часы с маятником за одни сутки, если их с полюса Земли перенести на экватор? Считать, что на полюсе часы шли точно. Ускорение свободного падения на полюсе равно 9,83 $м/с^{2}$, на экваторе — 9,78 $м/с^{2}$.
Дано:
$g_{экв} = 9,78 м/с^{2}$;
$g_{пол} = 9,83 м/с^{2}$;
t = 1 сутки.
Найти:
△t − ?
СИ:
t = 86400 с.
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
Найдем отношение периодов маятника:
$\frac{T_{экв}}{T_{пол}} = \frac{2π\sqrt{\frac{l}{g_{экв}}}}{2π\sqrt{\frac{l}{g_{пол}}}} = \sqrt{\frac{g_{пол}}{g_{экв}}}$;
Найдем время отставания часов с маятником на экваторе:
$△t = \frac{T_{экв}}{T_{пол}} * t - t = \sqrt{\frac{g_{пол}}{g_{экв}}} * t - t$;
$△t = \sqrt{\frac{9,83}{9,78}} * 86400 - 86400 = 221$ c. = 3 мин. 41 с.
Ответ: 3 мин. 41 с.
Для решения задачи, связанной с изменением периода колебаний маятника при переносе часов с полюса Земли на экватор, необходимо учитывать зависимости периода от ускорения свободного падения и влияние этой зависимости на ход часов.
Маятник и период его колебаний
Маятник представляет собой колебательную систему, для которой период $ T $ определяется следующим выражением:
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$
где:
− $ T $ — период колебаний маятника (время одного полного колебания),
− $ l $ — длина маятника,
− $ g $ — ускорение свободного падения в месте, где находится маятник.
Из этой формулы видно, что период колебаний маятника зависит от ускорения свободного падения и длины маятника. Если $ g $ уменьшается, то $ T $ увеличивается, что приводит к замедлению хода часов.
Ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения $ g $ варьируется в зависимости от географического положения на Земле. Основная причина этого — форма Земли. Земля не является идеальной сферой, её форма ближе к эллипсоиду, где радиус на экваторе больше, чем на полюсе. Кроме того, на экваторе действует центробежная сила, вызванная вращением Земли, которая уменьшает эффективное значение ускорения свободного падения.
На полюсе Земли $ g $ больше по сравнению с экватором, так как там отсутствует влияние центробежной силы, и радиус Земли меньше.
Изменение периода при перемещении маятника
Если часы с маятником, настроенные на полюсе, переносятся на экватор, ускорение свободного падения $ g $ становится меньше. В результате период $ T $ увеличивается. Это можно выразить в относительном виде:
$$ \frac{T_{\text{экв}}}{T_{\text{пол}}} = \sqrt{\frac{g_{\text{пол}}}{g_{\text{экв}}}} $$
где:
− $ T_{\text{пол}} $ — период колебаний на полюсе,
− $ T_{\text{экв}} $ — период колебаний на экваторе,
− $ g_{\text{пол}} $ — ускорение свободного падения на полюсе,
− $ g_{\text{экв}} $ — ускорение свободного падения на экваторе.
Так как $ g_{\text{экв}} < g_{\text{пол}} $, то $ T_{\text{экв}} > T_{\text{пол}} $.
Замедление хода часов
Часы с маятником измеряют время, используя колебания маятника. Если период колебаний увеличивается, то время между каждым "ударом" часов становится больше. Это приводит к тому, что часы начинают "отставать", то есть показывать меньше времени, чем прошло на самом деле.
Для вычисления времени, на которое отстанут часы за сутки, необходимо определить разницу между количеством колебаний на полюсе и на экваторе за 24 часа. Сначала вычисляется относительное изменение периода:
$$ \Delta T = T_{\text{экв}} - T_{\text{пол}} $$
Далее подсчитывается число колебаний, которое маятник должен был совершить за сутки на полюсе, и разница, вызванная изменением периода.
Общее отставание часов за сутки:
$$ \Delta t = N \cdot \Delta T $$
где:
− $ N $ — количество колебаний за 24 часа на полюсе.
Заключение
При переносе часов с полюса на экватор период маятника увеличивается из−за уменьшения ускорения свободного падения. Это приводит к замедлению хода часов, которое можно рассчитать, используя соотношение между периодами колебаний на полюсе и экваторе. Для точного расчёта потребуется подставить значения ускорений свободного падения и периоды, а также учесть длительность суток в количестве секунд.
Пожауйста, оцените решение
