Груз, подвешенный на пружине, колеблется с периодом колебания 0,5 с. На сколько укоротится пружина, если с неё снять груз?

Для решения задачи, связанной с колебаниями груза на пружине и изменением её длины после снятия груза, необходимо использовать законы механики, связанные с упругостью и колебаниями. Разберём подробно теоретическую часть, чтобы понять, как подходить к этой задаче.

1. Гармонические колебания и период колебаний: Когда груз движется вверх−вниз на пружине, его движение можно описать как гармонические колебания. Период колебаний, обозначенный как $ T $, — это время, за которое груз совершает одно полное колебание. Формула для периода колебаний груза на пружине: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$ где:
   • $ T $ — период колебаний (в секундах),
   • $ m $ — масса груза (в килограммах),
   • $ k $ — жёсткость пружины (в Ньютонах на метр).

Из этой формулы видно, что период колебаний зависит от массы груза и жёсткости пружины.

1. Сила упругости и закон Гука: Закон Гука описывает деформацию пружины под действием силы. Если груз подвешен на пружине, он растягивает её под действием своей силы тяжести: $$ F = kx $$ где:
   • $ F $ — сила, приложенная к пружине (в Ньютонах),
   • $ k $ — жёсткость пружины (в Ньютонах на метр),
   • $ x $ — удлинение пружины (в метрах).

Сила $ F $, растягивающая пружину, — это сила тяжести груза, которая равна:
$$ F = mg $$
где:
− $ m $ — масса груза (в килограммах),
− $ g $ — ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с² на Земле).

Таким образом, удлинение пружины под действием груза будет:
$$ x = \frac{F}{k} = \frac{mg}{k}. $$

1. Определение жёсткости пружины:
   Жёсткость пружины $ k $ можно найти, если известен период колебаний $ T $ и масса груза $ m $. Подставляя значение $ k $ из формулы периода:
   $$ k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}. $$

2. Укорочение пружины после снятия груза:
   Когда груз снимают, сила тяжести $ F = mg $, которая действовала на пружину, исчезает, и пружина возвращается в своё исходное состояние (без удлинения). Таким образом, величина удлинения, которая была вызвана весом груза, становится равной изменению длины пружины:
   $$ \Delta x = x = \frac{mg}{k}. $$

Это изменение длины пружины ($ \Delta x $) и будет ответом на вопрос задачи.

1. Необходимые данные для расчётов: Чтобы найти конкретное значение укорочения пружины, необходимо знать:
   • период колебаний ($ T = 0,5 $ с),
   • ускорение свободного падения ($ g \approx 9,8 \, \mathrm{м/с^2} $),
   • массу груза ($ m $),
   • жёсткость пружины ($ k $), которая вычисляется из периода.

Использование данных и формул, описанных выше, позволит найти укорочение пружины после снятия груза.