Один математический маятник имеет период колебания 3 с, а другой − 4 с. Рассчитайте период колебания математического маятника, длина которого равна сумме длин этих маятников.

Для решения этой задачи потребуется обратиться к основным теоретическим аспектам, связанным с математическим маятником. Разберем все шаги и физические закономерности, чтобы получить инструменты для вычислений.

1. Математический маятник и его период колебаний Математический маятник — это идеализированная система, которая состоит из точки массы, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Движение математического маятника описывается законом гармонических колебаний, если угол отклонения от положения равновесия мал.

Период колебаний $ T $ математического маятника определяется формулой:
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}, $$
где:
− $ T $ — период колебаний (в секундах),
− $ l $ — длина нити маятника (в метрах),
− $ g $ — ускорение свободного падения (в метрах на секунду в квадрате), обычно принимаемое равным $ g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2 $.

1. Зависимость периода колебаний от длины маятника Из формулы видно, что период колебаний $ T $ зависит от длины нити $ l $ следующим образом: $$ T \propto \sqrt{l}. $$ Это значит, что если длина маятника увеличивается, то его период тоже увеличивается, но не прямо пропорционально, а пропорционально квадратному корню из длины.

Преобразуем формулу для нахождения длины нити через известный период колебаний:
$$ l = \frac{g}{4\pi^2} T^2. $$
Это выражение позволит вычислить длины маятников, если известны их периоды.

1. Сложение длин маятников
   В задаче указано, что длина нового маятника равна сумме длин двух данных маятников. Таким образом, если обозначить длины первых двух маятников как $ l_1 $ и $ l_2 $, то длина нового маятника $ l_3 $ будет:
   $$ l_3 = l_1 + l_2. $$

2. Период нового маятника
   После определения длины нового маятника, его период можно найти из основной формулы периода:
   $$ T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{l_3}{g}}. $$

3. Промежуточные вычисления
   Для решения задачи сначала необходимо выразить длины $ l_1 $ и $ l_2 $ через их известные периоды $ T_1 $ и $ T_2 $ соответственно:
   $$ l_1 = \frac{g}{4\pi^2} T_1^2, \quad l_2 = \frac{g}{4\pi^2} T_2^2. $$
   Затем длина нового маятника будет равна:
   $$ l_3 = l_1 + l_2 = \frac{g}{4\pi^2} T_1^2 + \frac{g}{4\pi^2} T_2^2. $$
   Вынесем общий множитель:
   $$ l_3 = \frac{g}{4\pi^2} (T_1^2 + T_2^2). $$

Теперь, подставляя длину $ l_3 $ в формулу периода нового маятника, получим:
$$ T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{l_3}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4\pi^2} (T_1^2 + T_2^2)}. $$
Упростим выражение:
$$ T_3 = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}. $$

1. Итоговая формула для периода нового маятника
   Таким образом, период нового маятника $ T_3 $, длина которого равна сумме длин двух маятников, можно вычислить по формуле:
   $$ T_3 = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}. $$

2. Применение теории
   В задаче даны периоды двух маятников: $ T_1 = 3 \, \text{с} $ и $ T_2 = 4 \, \text{с} $. Зная теоретическую формулу $ T_3 = \sqrt{T_1^2 + T_2^2} $, можно определить период нового маятника.