За одно и то же время один математический маятник совершает 50 полных колебаний, а другой − 30. Найдите длины маятников, если один из них длиннее другого на 32 см.
Дано:
$t_{1} = t_{2}$;
$N_{1} = 50$ колебаний;
$N_{2} = 30$ колебаний;
△l = 32 см.
Найти:
$l_{1}$ − ?
$l_{2}$ − ?
СИ:
△l = 0,32 м.
Решение:
$△l = l_{2} - l_{1} = 0,32$ м;
$l_{2} = l_{1} + 0,32$;
Период колебания математического маятника равен:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
Найдем время колебания маятника:
$T = \frac{t}{N}$;
t = TN;
Из равенства $t_{1} = t_{2}$ следует, что:
$T_{1}N_{1} = T_{2}N_{2}$;
$ 2π\sqrt{\frac{l_{1}}{g}} * N_{1} = 2π\sqrt{\frac{l_{2}}{g}} * N_{2} = 2π\sqrt{\frac{l_{1} + 0,32}{g}} * N_{2} $;
$N_{1} \sqrt{l_{1}} = N_{2}\sqrt{l_{1} + 0,32}$;
Возведем обе части равенства в квадрат:
$N_{1}^{2} l_{1} = N_{2}^{2} * (l_{1} + 0,32)$;
$N_{1}^{2} l_{1} = N_{2}^{2} l_{1} + 0,32N_{2}^{2}$;
$N_{1}^{2} l_{1} - N_{2}^{2} l_{1} = 0,32N_{2}^{2}$;
$l_{1} * (N_{1}^{2} - N_{2}^{2}) = 0,32N_{2}^{2}$;
$l_{1} = \frac{0,32N_{2}^{2}}{N_{1}^{2} - N_{2}^{2}}$;
$l_{1} = \frac{0,32 * 30^{2}}{50^{2} - 30^{2}} = 0,18$ м = 18 см;
$l_{2} = 0,18 + 0,32 = 0,5$ м = 50 см.
Ответ: 18 см; 50 см.
Для решения задачи о математических маятниках нам потребуется воспользоваться формулой для периода колебаний математического маятника.
Период колебаний математического маятника определяется формулой:
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$
где:
− $ T $ — период колебаний,
− $ L $ — длина маятника,
− $ g $ — ускорение свободного падения (обычно принимается как 9.8 м/с²).
Из этой формулы мы можем выразить длину маятника:
$$ L = \frac{T^2 g}{4\pi^2} $$
Математический маятник совершает колебания, и количество его колебаний за единицу времени (частота) обратно пропорционально периоду:
$$ f = \frac{1}{T} $$
Если за одно и то же время один маятник совершает 50 колебаний, а другой — 30, это означает, что их периоды соотносятся как 1/50 и 1/30 времени этого интервала:
$$ T_1 = \frac{T}{50}, \quad T_2 = \frac{T}{30} $$
Соответственно, используя формулу для периода колебаний:
$$ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}}, \quad T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}} $$
Если один маятник длиннее другого на 32 см, это можно записать как:
$$ L_2 = L_1 + 0.32 $$
Теперь у нас есть система уравнений для $ T_1 $ и $ T_2 $ через $ L_1 $ и $ L_2 $:
$$ \frac{T}{50} = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}}, \quad \frac{T}{30} = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}} $$
Подставляем $ L_2 = L_1 + 0.32 $ в уравнение для $ T_2 $:
$$ \frac{T}{30} = 2\pi \sqrt{\frac{L_1 + 0.32}{g}} $$
Теперь у нас есть два уравнения, которые можно решить относительно $ L_1 $ и $ L_2 $. После нахождения $ L_1 $ мы сможем подставить его значение в уравнение для $ L_2 $ и получить длину второго маятника.
Пожауйста, оцените решение
