К потолку вагона подвешен на нити длиной 1 м маленький шарик. При какой скорости вагона шарик будет сильно раскачиваться под действием ударов колёс о стыки рельсов? Длина рельса равна 12,5 м.
Дано:
$l_{1} = 1$ м;
$l_{2} = 12,5$ м;
$g ≈ 10 м/с^{2}$.
Найти:
$v_{вагона}$ − ?
Решение:
Период колебаний шарика равен:
$T_{1} = 2π\sqrt{\frac{l_{1}}{g}}$;
$T = 2 * 3,14 * \sqrt{\frac{1}{10}} = 1,99$ с;
Условие резонанса:
$ν_{1} = v_{2}$;
$\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{T_{2}}$;
$T_{1} = T_{2} = 1,99$ с;
Для выполнения условия резонанса вагон должен получать удары через период $T_{2} = T_{1}$ (частота колебаний шарика совпадет с частотой наезда колес на стыки рельс). Для этого вагон должен двигаться со скоростью:
$v_{вагона} = \frac{l_{2}}{T_{2}}$;
$v_{вагона} = \frac{12,5}{1,99} = 6,3$ м/с.
Ответ: 6,3 м/с.
Для решения этой задачи необходимо рассмотреть явление резонанса, которое возникает, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой колебательной системы. В данном случае шарик на нитке представляет собой математический маятник, и удары колёс о стыки рельсов создают внешние колебания вагона.
Собственная частота $ f_0 $ маятника связана с периодом $ T $ следующим образом:
$$ f_0 = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} $$
Это частота, с которой маятник будет естественно колебаться.
Частота внешнего воздействия
Удары колёс о стыки рельсов создают периодическое внешнее воздействие на вагон. Для определения частоты этих воздействий нужно знать скорость вагона $ v $ и длину рельса $ L $, по которому движется вагон. Каждый раз, когда колёса вагона проходят очередной стык рельсов, происходит удар. Время между ударами $ t $ связано с длиной рельса $ L $ и скоростью вагона $ v $:
$$ t = \frac{L}{v} $$
Частота ударов $ f_\text{внеш} $ является обратной величиной времени между ударами:
$$ f_\text{внеш} = \frac{1}{t} = \frac{v}{L} $$
Таким образом, частота ударов зависит от скорости вагона.
Условие резонанса
Резонанс возникает, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой системы:
$$ f_\text{внеш} = f_0 $$
Подставляя выражения для $ f_\text{внеш} $ и $ f_0 $, получаем:
$$ \frac{v}{L} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} $$
Решение уравнения
Для нахождения скорости вагона $ v $, при которой возникает резонанс, необходимо решить вышеуказанное уравнение. Заметим, что $ v $ зависит от длины рельса $ L $, длины нити $ l $, и ускорения свободного падения $ g $.
Физический смысл явления
Когда частота ударов совпадает с собственной частотой маятника, амплитуда его колебаний начинает возрастать из−за накопления энергии от регулярных внешних воздействий. Это и приводит к сильному раскачиванию шарика на нити.
Основные формулы, которые потребуются для расчётов:
− Собственная частота маятника:
$$ f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} $$
− Частота внешнего воздействия:
$$ f_\text{внеш} = \frac{v}{L} $$
− Условие резонанса:
$$ \frac{v}{L} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} $$
Пожауйста, оцените решение
