Период собственного свободного колебания железнодорожного вагона равен 1,25 с. На стыках рельсов вагон получает периодические удары, которые являются причиной вынужденных колебаний вагона. При какой минимальной скорости поезда возникает резонанс и пассажиры будут ощущать сильное вертикальное раскачивание вагона? Длина каждого рельса между стыками 25 м.
Дано:
$T_{1} = 1,25$ с;
l = 25 м.
Найти:
$v_{поезда}$ − ?
Решение:
Условие резонанса:
$ν_{1} = v_{2}$;
$\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{T_{2}}$;
$T_{1} = T_{2}$;
Для выполнения условия резонанса вагон должен получать удары через период $T_{2} = T_{1}$. Для этого он должен двигаться со скоростью:
$v_{поезда} = \frac{l}{T_{2}}$;
$v_{поезда} = \frac{25}{1,25} = 20$ м/с.
Ответ: 20 м/с.
Для решения этой задачи важно понять концепцию резонанса, которая является ключевым физическим явлением, используемым здесь. Разберем все необходимые аспекты теории.
Понятие резонанса:
Резонанс — это явление, при котором колебательная система под действием внешней периодической силы начинает совершать колебания с резко возрастающей амплитудой. Это происходит, когда частота внешней периодической силы совпадает с собственной частотой свободных колебаний системы.
Свободные колебания — это колебания, которые происходят в системе после однократного возбуждения (например, толчка), без воздействия внешних периодических сил. Период такого колебания называется "периодом собственных колебаний".
Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы (например, удары на стыках рельсов). Частота таких колебаний совпадает с частотой внешней силы.
Связь резонанса и вынужденных колебаний:
Условие резонанса возникает тогда, когда частота внешнего воздействия $ \nu_{\text{в}} $ (или период $ T_{\text{в}} $) равна частоте собственных колебаний $ \nu_{\text{собств}} $ (или периоду $ T_{\text{собств}} $) системы.
Математически это выражается как:
$$
\nu_{\text{в}} = \nu_{\text{собств}} \quad \text{или} \quad T_{\text{в}} = T_{\text{собств}}.
$$
Частота и период связаны следующим образом:
$$
\nu = \frac{1}{T},
$$
где $ \nu $ — частота, $ T $ — период.
Условие возникновения резонанса в задаче:
В вагоне происходит вертикальное раскачивание из−за последовательных толчков при движении по стыкам рельсов. Эти толчки создают вынужденные колебания с частотой, зависящей от скорости движения поезда и расстояния между стыками рельсов.
Частота вынужденных колебаний $ \nu_{\text{в}} $ определяется количеством стыков, которые пересекает поезд за 1 секунду. Это, в свою очередь, зависит от скорости поезда $ v $ и длины рельса $ L $ (расстояния между стыками). Если поезд движется со скоростью $ v $, то за время $ t = 1 \, \text{с} $ он пройдет расстояние $ v $, а количество пройденных стыков равно:
$$
N = \frac{v}{L}.
$$
Таким образом, частота вынужденных колебаний равна:
$$
\nu_{\text{в}} = \frac{v}{L}.
$$
Для резонанса необходимо, чтобы частота вынужденных колебаний совпадала с собственной частотой колебаний вагона:
$$
\nu_{\text{в}} = \nu_{\text{собств}}.
$$
Период собственных колебаний вагона $ T_{\text{собств}} $ дан в условии задачи ($ T_{\text{собств}} = 1,25 \, \text{с} $), а частота собственных колебаний связана с периодом следующим образом:
$$
\nu_{\text{собств}} = \frac{1}{T_{\text{собств}}}.
$$
Подставляем $ \nu_{\text{в}} = \nu_{\text{собств}} $ в уравнение для $ \nu_{\text{в}} $:
$$
\frac{v}{L} = \frac{1}{T_{\text{собств}}}.
$$
Отсюда можно выразить скорость $ v $, при которой возникает резонанс:
$$
v = \frac{L}{T_{\text{собств}}}.
$$
Важные величины из условия задачи:
Теперь, зная теорию, можно подставить численные значения в формулу для нахождения скорости $ v $.
Пожаулйста, оцените решение
vsebot.ru - Твоя нейросеть на базе СhatGPT, Gemini и др. Бесплатно навсегда!