Период собственного свободного колебания железнодорожного вагона равен 1,25 с. На стыках рельсов вагон получает периодические удары, которые являются причиной вынужденных колебаний вагона. При какой минимальной скорости поезда возникает резонанс и пассажиры будут ощущать сильное вертикальное раскачивание вагона? Длина каждого рельса между стыками 25 м.

Для решения этой задачи важно понять концепцию резонанса, которая является ключевым физическим явлением, используемым здесь. Разберем все необходимые аспекты теории.

Понятие резонанса:

Резонанс — это явление, при котором колебательная система под действием внешней периодической силы начинает совершать колебания с резко возрастающей амплитудой. Это происходит, когда частота внешней периодической силы совпадает с собственной частотой свободных колебаний системы.

Свободные колебания — это колебания, которые происходят в системе после однократного возбуждения (например, толчка), без воздействия внешних периодических сил. Период такого колебания называется "периодом собственных колебаний".

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы (например, удары на стыках рельсов). Частота таких колебаний совпадает с частотой внешней силы.

Связь резонанса и вынужденных колебаний:

Условие резонанса возникает тогда, когда частота внешнего воздействия $ \nu_{\text{в}} $ (или период $ T_{\text{в}} $) равна частоте собственных колебаний $ \nu_{\text{собств}} $ (или периоду $ T_{\text{собств}} $) системы.

Математически это выражается как:
$$ \nu_{\text{в}} = \nu_{\text{собств}} \quad \text{или} \quad T_{\text{в}} = T_{\text{собств}}. $$

Частота и период связаны следующим образом:
$$ \nu = \frac{1}{T}, $$
где $ \nu $ — частота, $ T $ — период.

Условие возникновения резонанса в задаче:

В вагоне происходит вертикальное раскачивание из−за последовательных толчков при движении по стыкам рельсов. Эти толчки создают вынужденные колебания с частотой, зависящей от скорости движения поезда и расстояния между стыками рельсов.

Частота вынужденных колебаний $ \nu_{\text{в}} $ определяется количеством стыков, которые пересекает поезд за 1 секунду. Это, в свою очередь, зависит от скорости поезда $ v $ и длины рельса $ L $ (расстояния между стыками). Если поезд движется со скоростью $ v $, то за время $ t = 1 \, \text{с} $ он пройдет расстояние $ v $, а количество пройденных стыков равно:
$$ N = \frac{v}{L}. $$

Таким образом, частота вынужденных колебаний равна:
$$ \nu_{\text{в}} = \frac{v}{L}. $$

Для резонанса необходимо, чтобы частота вынужденных колебаний совпадала с собственной частотой колебаний вагона:
$$ \nu_{\text{в}} = \nu_{\text{собств}}. $$

Период собственных колебаний вагона $ T_{\text{собств}} $ дан в условии задачи ($ T_{\text{собств}} = 1,25 \, \text{с} $), а частота собственных колебаний связана с периодом следующим образом:
$$ \nu_{\text{собств}} = \frac{1}{T_{\text{собств}}}. $$

Подставляем $ \nu_{\text{в}} = \nu_{\text{собств}} $ в уравнение для $ \nu_{\text{в}} $:
$$ \frac{v}{L} = \frac{1}{T_{\text{собств}}}. $$

Отсюда можно выразить скорость $ v $, при которой возникает резонанс:
$$ v = \frac{L}{T_{\text{собств}}}. $$

Важные величины из условия задачи:

1. Длина рельса между стыками $ L = 25 \, \text{м} $.
2. Период собственных колебаний вагона $ T_{\text{собств}} = 1,25 \, \text{с} $.

Теперь, зная теорию, можно подставить численные значения в формулу для нахождения скорости $ v $.