Частица массой 0,01 г совершает колебания частотой 500 Гц и амплитудой 2 мм. Определите:
а) кинетическую энергию частицы при прохождении ею положения равновесия;
б) потенциальную энергию частицы при смещении, равном амплитуде;
в) полную энергию колеблющейся частицы.
Дано:
m = 0,01 г;
ν = 500 Гц;
A = 2 мм.
Найти:
$E_{к}$ − ?
$E_{п}$ − ?
E − ?
СИ:
m = 0,00001 кг;
A = 0,002 м.
Решение:
Полная механическая энергия колеблющегося тела остается постоянной при колебаниях и равна: максимальной кинетической энергии тела; либо максимальной потенциальной энергии тела; либо сумме потенциальной и кинетической энергии тела в любой момент времени.
$E = E_{п}^{max}= E_{к}^{max} = E_{п} + E_{к}$;
В момент прохождения частицей положения равновесия, скорость тела максимальна, следовательно, в этот момент тело обладает максимальной кинетической энергией:
$v = v_{max} = ωA = 2πνA$;
$E_{к}^{max} = \frac{mv_{max}^{2}}{2} = \frac{m(2πνA)^{2}}{2} = 2m * (πνA)^{2}$;
$E_{к}^{max} = 2 * 0,00001 * (3,14 * 500 * 0,002)^{2} = 0,0002$ Дж;
При смещении частицы равном амплитуде скорость частицы равна нулю и она обладает максимальной потенциальной энергией.
$E_{п}^{max} = E_{к}^{max} = E = 0,0002$ Дж.
Ответ: 0,0002 Дж; 0,0002 Дж; 0,0002 Дж.
Для ответа на поставленные вопросы необходимо понять теоретическую основу колебательного движения и энергий, связанных с ним.
Колебательное движение и энергия
Колебания описываются функцией, характеризующей смещение частицы от положения равновесия. Для гармонических колебаний смещение $ x $ зависит от времени $ t $ и описывается функцией:
$$
x(t) = A \cdot \sin(\omega t),
$$
где:
− $ A $ — амплитуда колебания (максимальное смещение от положения равновесия),
− $ \omega $ — циклическая (круговая) частота колебания, связанная с линейной частотой $ f $ через формулу $ \omega = 2\pi f $,
− $ t $ — время.
Масса частицы $ m $ играет ключевую роль в вычислении кинетической и потенциальной энергии.
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия $ E_k $ частицы выражается формулой:
$$
E_k = \frac{mv^2}{2},
$$
где:
− $ m $ — масса частицы,
− $ v $ — скорость частицы.
Скорость $ v(t) $ частицы при гармонических колебаниях находится как производная функции смещения $ x(t) $ по времени:
$$
v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t).
$$
Максимальная скорость достигается, когда $ \cos(\omega t) = 1 $, то есть:
$$
v_{\text{max}} = A \cdot \omega.
$$
Таким образом, максимальная кинетическая энергия возникает, когда скорость частицы максимальна (например, при прохождении положения равновесия):
$$
E_k^{\text{max}} = \frac{m v_{\text{max}}^2}{2} = \frac{m (A \cdot \omega)^2}{2}.
$$
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия $ E_p $ определяется через упругую силу, действующую на частицу в процессе колебания. Для гармонических колебаний потенциальная энергия выражается формулой:
$$
E_p = \frac{kx^2}{2},
$$
где:
− $ k $ — жесткость (коэффициент упругости системы),
− $ x $ — смещение частицы от положения равновесия.
Связь между жесткостью $ k $, массой $ m $ и частотой $ \omega $ гармонических колебаний выражается через формулу:
$$
k = m \omega^2.
$$
Если $ x = A $ (максимальное смещение), то потенциальная энергия принимает максимальное значение:
$$
E_p^{\text{max}} = \frac{k A^2}{2}.
$$
Полная энергия
Полная энергия $ E $ системы колебаний сохраняется в процессе движения, так как система является идеальной (без потерь на трение или сопротивление). Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
$$
E = E_k + E_p.
$$
При гармонических колебаниях полная энергия может быть выражена как максимальная кинетическая или максимальная потенциальная энергия:
$$
E = E_k^{\text{max}} = E_p^{\text{max}}.
$$
Зависимости и расчеты
Масса частицы: масса должна быть переведена из граммов в килограммы (так как в системе СИ масса измеряется в килограммах). Перевод осуществляется через умножение на $ 10^{-3} $.
Амплитуда: амплитуда измеряется в миллиметрах, но она должна быть переведена в метры (через умножение на $ 10^{-3} $).
Частота: линейная частота $ f $ измеряется в герцах. Циклическая частота $ \omega $ находится через формулу:
$$
\omega = 2\pi f.
$$
Максимальная скорость: для её вычисления используется формула:
$$
v_{\text{max}} = A \cdot \omega.
$$
Кинетическая энергия в положении равновесия: при $ x = 0 $, потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия достигает максимального значения.
Потенциальная энергия при амплитудном смещении: при $ x = A $, кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия достигает максимального значения.
Полная энергия: равна либо максимальной кинетической, либо максимальной потенциальной энергии и не зависит от текущего положения частицы.
Все вычисления производятся на основе приведённых формул, учитывая переход к системе СИ.
Пожауйста, оцените решение
