Груз массой 0,3 кг совершает колебания на пружине жёсткостью 30 Н/м. Рассчитайте наибольшую скорость и полную энергию груза при колебаниях, если амплитуда колебаний равна 0,1 м.
Дано:
m = 0,3 кг;
k = 30 Н/м;
A = 0,1 м.
Найти:
$v_{max}$ − ?
E − ?
Решение:
Потенциальная энергия пружинного маятника равна:
$E_{п}= \frac{kA^{2}}{2}$;
Кинетическая энергия пружинного маятника равна:
$E_{к}= \frac{mv^{2}}{2}$;
По закону сохранения энергии:
$E = E_{п} + E_{к} = const$;
В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины (т.к. скорость в этой точке равна нулю):
$E = E_{п} = \frac{kA^{2}}{2}$;
$E = \frac{30 * 0,1^{2}}{2} = 0,15$ Дж;
Наибольшая скорость груза достигается в положении равновесия, при этом отклонение равно нулю. В этой точке полная механическая энергия равна кинетической энергии пружины:
$E = E_{к} = \frac{mv_{max}^{2}}{2}$;
Найдем наибольшую скорость груза при колебаниях:
$mv_{max}^{2} = 2E$;
$v_{max}^{2} = \frac{2E}{m}$;
$v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$;
$v = \sqrt{\frac{2 * 0,15}{0,3}} = 1$ м/с.
Ответ: 1 м/с; 0,15 Дж.
Колебания груза на пружине относятся к гармоническим колебаниям, которые описываются законами механики и теории колебаний. Такие движения происходят под действием силы упругости пружины, которая подчиняется закону Гука.
Закон Гука:
Согласно закону Гука, сила упругости $ F_{\text{упр}} $ пропорциональна смещению $ x $ тела от положения равновесия:
$$
F_{\text{упр}} = -kx,
$$
где:
Формула потенциальной энергии пружины:
Потенциальная энергия упругой деформации пружины $ E_{\text{пот}} $ в любой момент времени равна:
$$
E_{\text{пот}} = \frac{1}{2}kx^2.
$$
В положении максимального смещения ($ x = A $, где $ A $ — амплитуда колебаний) потенциальная энергия достигает максимального значения:
$$
E_{\text{пот, max}} = \frac{1}{2}kA^2.
$$
Кинетическая энергия:
Кинетическая энергия тела $ E_{\text{кин}} $ в любой момент времени определяется формулой:
$$
E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2,
$$
где:
Максимальная кинетическая энергия будет достигнута, когда тело проходит через положение равновесия ($ x = 0 $). В этом случае вся энергия системы будет преобразована в кинетическую.
Полная механическая энергия системы:
В случае гармонических колебаний система сохраняет свою полную механическую энергию $ E_{\text{полн}} $, которая состоит из кинетической и потенциальной энергии:
$$
E_{\text{полн}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}}.
$$
Так как энергия сохраняется, то полная энергия системы остаётся постоянной на протяжении всего времени колебаний. Её значение можно найти как максимальную потенциальную энергию, так как в крайней точке колебания вся энергия системы находится в виде потенциальной:
$$
E_{\text{полн}} = \frac{1}{2}kA^2.
$$
Максимальная скорость:
Максимальная скорость тела достигается в положении равновесия ($ x = 0 $), когда вся энергия системы преобразована в кинетическую. Для вычисления максимальной скорости $ v_{\text{max}} $ можно использовать закон сохранения энергии:
$$
E_{\text{полн}} = E_{\text{кин, max}} = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2.
$$
Отсюда:
$$
v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2E_{\text{полн}}}{m}}.
$$
Связь между характеристиками колебаний:
Амплитуда, масса и жёсткость пружины определяют параметры движения тела:
Учитывая данные задачи:
− $ m = 0.3 \, \text{кг} $,
− $ k = 30 \, \text{Н/м} $,
− $ A = 0.1 \, \text{м} $,
можно рассчитать полную энергию системы и максимальную скорость груза, используя приведённые формулы.
Пожауйста, оцените решение
