Чему равна первоначальная длина математического маятника, если при увеличении его длины на 30 см период колебания маятника увеличивается в 2 раза?
Дано:
△l = 30 см;
$T_{2} = 2 T_{1}$.
Найти:
$l_{1}$ − ?
СИ:
△l = 0,3 м.
Решение:
$△l = l_{2} - l_{1} = 0,3$ м;
$l_{2} = l_{1} + 0,3$;
Период колебания математического маятника равен:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
Т.к. $T_{2} = 2 T_{1}$, $l_{2} = l_{1} + 0,3$, то уравнение примет вид:
$2π\sqrt{\frac{l_{2}}{g}} = 2π\sqrt{\frac{{l_{1} + 0,3}}{g}} = 2 * 2π\sqrt{\frac{l_{1}}{g}}$;
$\sqrt{ l_{1} + 0,3} = 2 * \sqrt{ l_{1}}$;
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$l_{1} + 0,3 = 4l_{1}$;
$3l_{1} = 0,3$;
$l_{1} = \frac{0,3}{3} = 0,1$ м = 10 см.
Ответ: 10 см.
Для решения этой задачи нужно опираться на теоретические аспекты, связанные с математическим маятником, его периодом и зависимостью периода от длины.
Понятие математического маятника
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Движение такого маятника подчиняется законам механики и под воздействием силы тяжести его колебания приближаются к гармоническим.
Формула периода математического маятника
Период $ T $ математического маятника (время одного полного колебания) зависит от его длины $ l $ и ускорения свободного падения $ g $ следующим образом:
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}},
$$
где:
$ T $ – период колебаний маятника, измеряется в секундах;
$ l $ – длина маятника, измеряется в метрах;
$ g $ – ускорение свободного падения, измеряется в м/с² (на Земле $ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $).
Эта формула показывает квадратичную зависимость периода $ T $ от длины $ l $: при увеличении $ l $ период $ T $ увеличивается, но не линейно, а пропорционально квадратному корню из длины.
Если известно, что период увеличивается в 2 раза ($ T_2 = 2T_1 $), то можно записать:
$$
2T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}.
$$
Подставим выражение для $ T_1 $:
$$
2 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}.
$$
Сократим общий множитель $ 2\pi $ и возведем обе стороны в квадрат:
$$
4 \cdot \frac{l_1}{g} = \frac{l_2}{g}.
$$
Ускорение свободного падения $ g $ сокращается:
$$
4l_1 = l_2.
$$
Таким образом, новая длина маятника $ l_2 $ в 4 раза больше первоначальной длины $ l_1 $:
$$
l_2 = 4l_1.
$$
Подставим в это уравнение $ l_2 = 4l_1 $:
$$
4l_1 = l_1 + 30.
$$
В этом уравнении содержится одна неизвестная величина – первоначальная длина маятника $ l_1 $. Решив его, можно найти $ l_1 $.
Пожауйста, оцените решение
