Алюминиевый шар, закреплённый на пружине, совершает колебания с периодом 2 с. Каким будет период колебания, если алюминиевый шар заменить медным такого же объёма?

Для решения этой задачи важно понять, как масса шарика и свойства материала (в данном случае алюминия и меди) влияют на период колебаний пружинного маятника. Теоретическая часть будет основана на законе гармонических колебаний и соотношении между массой, свойствами материалов и объемом.

Основные теоретические положения:

1. Формула периода колебаний пружинного маятника: Период колебаний пружинного маятника определяется выражением: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}, $$ где:
   • $ T $ — период колебаний (в секундах),
   • $ m $ — масса шарика (в килограммах),
   • $ k $ — жесткость пружины (в Ньютонах на метр),
   • $ \pi $ — математическая константа, приблизительно равная 3,1416.

Согласно этой формуле, период зависит только от массы $ m $ и жесткости $ k $, но не от формы или объема шарика.

1. Масса шарика: Масса $ m $ шарика зависит от его объема $ V $ и плотности материала $ \rho $: $$ m = \rho V, $$ где:
   • $ \rho $ — плотность материала (в кг/м³),
   • $ V $ — объем шарика (в м³).

В задаче объем шарика остается неизменным, но плотность материала меняется, так как алюминий и медь имеют разные плотности.

1. Плотность материалов:
   • Плотность алюминия $ \rho_\text{Al} $ приблизительно равна $ 2700 \, \text{кг/м}^3 $.
   • Плотность меди $ \rho_\text{Cu} $ приблизительно равна $ 8900 \, \text{кг/м}^3 $.

Таким образом, масса медного шарика $ m_\text{Cu} $ будет больше массы алюминиевого шарика $ m_\text{Al} $, так как плотность меди значительно выше.

1. Влияние массы на период:
   Если жесткость пружины $ k $ остается неизменной, то увеличивая массу $ m $, период $ T $ возрастает. Это связано с квадратным корнем в формуле: если масса увеличивается, то $ \sqrt{m} $ также увеличивается, что приводит к увеличению $ T $.

2. Соотношение периодов:
   Если заменить материал шарика, сохранив его объем, период колебаний изменится в соответствии с соотношением масс нового и старого шарика:
   $$ \frac{T_\text{Cu}}{T_\text{Al}} = \sqrt{\frac{m_\text{Cu}}{m_\text{Al}}}. $$
   Подставив выражение для массы через плотность и объем $ m = \rho V $, получим:
   $$ \frac{T_\text{Cu}}{T_\text{Al}} = \sqrt{\frac{\rho_\text{Cu} V}{\rho_\text{Al} V}} = \sqrt{\frac{\rho_\text{Cu}}{\rho_\text{Al}}}. $$

3. Заключение:
   Таким образом, чтобы определить новый период $ T_\text{Cu} $, нужно знать первоначальный период $ T_\text{Al} $ и соотношение плотностей материалов. Плотность меди больше плотности алюминия, поэтому новый период будет больше.