Длины математических маятников относятся как 16:1. Как относятся частоты колебаний этих маятников?
Дано:
$\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{16}{1}$.
Найти:
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}}$ − ?
Решение:
Период гармонических колебаний математичесого маятника равен:
$T = \frac{1}{ν}$;
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\frac{1}{ν} = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$\sqrt{\frac{l}{g}} =\frac {\frac{1}{ν}}{2π} = \frac{1}{2πν}$;
$\frac{l}{g} =(\frac{1}{2πν})^{2} = \frac{1}{4π^{2}ν^{2}}$;
$l = \frac{g}{4π^{2}ν^{2}}$;
$l_{1} = 16l_{2}$;
$\frac{g}{4π^{2}ν_{1}^{2}} = \frac{16g}{4π^{2}ν_{2}^{2}}$;
$\frac{ν_{1}^{2}}{ν_{2}^{2}} = (\frac{ν_{1}}{ν_{2}})^{2} = \frac{1}{16}$;
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.
Для решения задачи о соотношении частот колебаний двух математических маятников, длины которых относятся как 16:1, нужно изучить формулы и принципы, связанные с колебаниями математического маятника.
Математический маятник — это идеализированная физическая модель, представляющая собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. Колебания математического маятника можно рассматривать как гармонические, если его отклонения от равновесия малы.
Основной величиной, описывающей колебания маятника, является период $ T $ — время одного полного колебания. Период математического маятника зависит от длины маятника $ l $ и ускорения свободного падения $ g $. Формула для периода математического маятника имеет вид:
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$
Здесь:
− $ T $ — период колебаний (в секундах),
− $ l $ — длина маятника (в метрах),
− $ g $ — ускорение свободного падения (в м/с²),
− $ \pi $ — математическая константа (приблизительно 3.14159).
Частота колебаний $ \nu $ связана с периодом обратной зависимостью:
$$ \nu = \frac{1}{T} $$
где:
− $ \nu $ — частота (в герцах, Гц),
− $ T $ — период (в секундах).
Теперь, если период $ T $ выразить из формулы для математического маятника, то частота $ \nu $ будет равна:
$$ \nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} $$
Таким образом, частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из длины маятника:
$$ \nu \propto \frac{1}{\sqrt{l}} $$
Это означает, что если длина одного маятника изменяется, то частота его колебаний изменяется как обратная величина квадратного корня из длины.
В условии задачи сказано, что длины двух маятников относятся как 16:1. Пусть длина первого маятника $ l_1 $, а длина второго маятника $ l_2 $. Тогда их соотношение:
$$ \frac{l_1}{l_2} = 16 $$
Частоты колебаний этих маятников будут относиться как обратные величины квадратных корней из их длин:
$$ \frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} $$
То есть, чтобы найти соотношение частот, нужно взять квадратный корень из обратного отношения длин:
$$ \frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{\frac{1}{16}} $$
Далее можно подставить численные значения и определить окончательное соотношение частот.
Пожауйста, оцените решение
