Периоды колебаний двух математических маятников относятся как 3:2. Определите, во сколько раз первый маятник длиннее второго.

Для решения задачи нужно использовать формулу периода колебаний математического маятника. Математический маятник представляет собой идеализированный физический объект, который состоит из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Основной характеристикой такого маятника является его длина $ l $, а движение маятника обусловлено силой тяжести.

Формула периода колебаний математического маятника имеет вид:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$

где:
− $ T $ — период колебаний маятника (в секундах),
− $ l $ — длина маятника (в метрах),
− $ g $ — ускорение свободного падения (в м/с²), значение которого вблизи поверхности Земли примерно равно $ 9,8 \, \text{м/с}^2 $,
− $ \pi $ — математическая константа, примерно равная $ 3,14 $.

Из формулы видно, что период колебаний зависит только от длины маятника $ l $ и ускорения свободного падения $ g $. Если ускорение $ g $ одинаково для обоих маятников (например, оба находятся на Земле), то соотношение периодов двух маятников $ T_1 $ и $ T_2 $ будет определяться только соотношением их длин $ l_1 $ и $ l_2 $.

Разделим период первого маятника $ T_1 $ на период второго $ T_2 $:

$$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}} $$

Сократим $ 2\pi $ и подставим общую величину ускорения $ g $:

$$ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} $$

Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{l_1}{l_2} $$

Таким образом, отношение длин маятников $ \frac{l_1}{l_2} $ выражается через квадрат отношения их периодов $ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 $.

Задача утверждает, что периоды двух маятников относятся как $ 3:2 $. Это значит, что:

$$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{2} $$

Теперь, чтобы найти отношение длин $ \frac{l_1}{l_2} $, нужно подставить это значение в формулу:

$$ \frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$