Груз, колеблющийся на пружине, жёсткость которой равна 250 Н/м, делает 40 колебаний за 32 с. Чему равна масса груза?
Дано:
k = 250 Н/м;
N = 40 колебаний;
t = 32 c.
Найти:
m − ?
Решение:
Найдем период колебания груза:
$T = \frac{t}{N }$;
Найдем массу груза:
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\frac{t}{N } = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{\frac{t}{N}}{2π} = \frac{t}{2πN}$;
$\frac{m}{k} = (\frac{t}{2πN})^{2}$;
$m = (\frac{t}{2πN})^{2} * k$;
$m = (\frac{32}{2 * 3,14 * 40})^{2} * 250 = 4$ кг.
Ответ: 4 кг.
Для решения задачи о колебаниях груза на пружине необходимо понять основные физические принципы, связанные с гармоническими колебаниями. Это включает рассмотрение закона Гука, уравнений гармонических колебаний и их связи с периодом и частотой движения.
Гармонические колебания на пружине:
Колебания груза, подвешенного на пружине, являются гармоническими, что означает, что груз совершает движение вокруг точки равновесия под действием силы упругости пружины. Сила упругости пружины определяется законом Гука:
$$ F = -kx $$
где $ F $ — сила упругости, $ k $ — жёсткость пружины (постоянная характеристика пружины), $ x $ — смещение груза из положения равновесия. Минус в формуле указывает на то, что сила упругости направлена противоположно перемещению.
Период колебаний:
Период колебаний $ T $ — это время, за которое груз совершает одно полное колебание. Для гармонических колебаний на пружине период зависит от массы груза $ m $ и жёсткости пружины $ k $ по следующей формуле:
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$
где:
− $ T $ — период колебаний (в секундах),
− $ m $ — масса груза (в килограммах),
− $ k $ — жёсткость пружины (в Н/м).
Связь периода и частоты:
Частота колебаний $ \nu $ — это количество колебаний, совершаемых грузом за одну секунду. Она связана с периодом колебаний обратной зависимостью:
$$ \nu = \frac{1}{T} $$
Так как в задаче известно количество колебаний $ N $ и время $ t $, за которое эти колебания происходят, частоту можно найти по формуле:
$$ \nu = \frac{N}{t} $$
Определение массы:
После вычисления частоты или периода можно использовать формулу для периода $ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $ и выразить массу $ m $:
$$ m = \frac{k \cdot T^2}{4\pi^2} $$
Таким образом, чтобы найти массу груза, нужно:
1. Вычислить период $ T $ по формуле $ T = \frac{t}{N} $, где $ t $ — общее время колебаний, $ N $ — количество колебаний.
2. Подставить значение периода $ T $ и жёсткость пружины $ k $ в формулу для массы $ m $.
В результате всех вычислений будет получена масса груза.
Пожауйста, оцените решение
