На пружине жёсткостью 200 Н/м совершает колебания груз массой 0,5 кг. Найдите период и частоту колебаний этого груза. Чему будут равны период и частота колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза большей; в 4 раза меньшей?
1. Дано:
m = 0,5 кг;
k = 200 Н/м.
Найти:
T − ?
ν − ?
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}}$;
$T = 2 * 3,14\sqrt{\frac{0,5}{200}} = 0,314$ с.
$ν = \frac{1}{T}$;
$ν = \frac{1}{0,314} = 3,2$ Гц.
Ответ: 0,314 с.; 3,2 Гц.
2. Дано:
m = 0,5 кг;
$k_{1} = 200$ Н/м;
$k_{2} = 4k_{1}$.
Найти:
$T_{2}$ − ?
$ν_{2}$ − ?
Решение:
$T_{2} = 2π\sqrt{\frac{m}{k_{2}}} = 2π\sqrt{\frac{m}{4k_{1}}}$;
$T_{2} = 2 * 3,14\sqrt{\frac{0,5}{4 * 200}} = 0,157$ с.
$ν = \frac{1}{T}$;
$ν = \frac{1}{0,157} = 6,4$ Гц.
Ответ: 0,157 с.; 6,4 Гц.
3. Дано:
m = 0,5 кг;
$k_{1} = 200$ Н/м;
$k_{2} = \frac{k_{1}}{4}$.
Найти:
$T_{2}$ − ?
$ν_{2}$ − ?
Решение:
$T_{2} = 2π\sqrt{\frac{m}{k_{2}}} = 2π\sqrt{\frac{m}{\frac{k_{1}}{4}}} = 2π\sqrt{\frac{4m}{k_{1}}} = 4π\sqrt{\frac{m}{k_{1}}} $;
$T_{2} = 4 * 3,14\sqrt{\frac{0,5}{200}} = 0,628$ с.
$ν = \frac{1}{T}$;
$ν = \frac{1}{0,628} = 1,6$ Гц.
Ответ: 0,628 с.; 1,6 Гц.
Чтобы решить задачу, необходимо разобраться с теоретической частью, связанной с механическими колебаниями. Рассмотрим основные понятия и формулы, которые будут использованы для решения задачи.
Колебания на пружине
Колебания груза на пружине относятся к гармоническим колебаниям. Груз выполняет движение под действием восстанавливающей силы, которая определяется законом Гука:
$$
F = -kx,
$$
где $ k $ — коэффициент жёсткости пружины, $ x $ — смещение груза от положения равновесия.
Период колебаний
Период ($ T $) — это время, за которое груз совершает одно полное колебание. Для гармонических колебаний на пружине период зависит от массы груза ($ m $) и жёсткости пружины ($ k $):
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}},
$$
где:
− $ T $ — период колебаний (в секундах),
− $ m $ — масса груза (в килограммах),
− $ k $ — жёсткость пружины (в ньютон/метр),
− $ \pi $ — математическая константа (приблизительно $ 3.1416 $).
Частота колебаний
Частота колебаний ($ \nu $) — это количество колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота связана с периодом по формуле:
$$
\nu = \frac{1}{T}.
$$
Также можно выразить частоту через параметры системы:
$$
\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}},
$$
где:
− $ \nu $ — частота колебаний (в герцах, $ \text{Гц} $),
− $ k $ — жёсткость пружины,
− $ m $ — масса груза.
Влияние изменения жёсткости пружины
Период и частота колебаний зависят от $ k $ — коэффициента жёсткости пружины. Если жёсткость пружины увеличивается или уменьшается, это изменяет соотношение $ \frac{m}{k} $:
1. При увеличении жёсткости ($ k $):
− $ T $ уменьшается, так как $ T \propto \sqrt{\frac{1}{k}} $,
− $ \nu $ увеличивается, так как $ \nu \propto \sqrt{k} $.
2. При уменьшении жёсткости ($ k $):
− $ T $ увеличивается,
− $ \nu $ уменьшается.
Изменение жёсткости в несколько раз
Если жёсткость пружины увеличивается или уменьшается в $ n $ раз, можно использовать следующие зависимости:
1. Новый период ($ T' $):
$$
T' = T \cdot \sqrt{\frac{k}{k'}},
$$
где $ k' = n \cdot k $ (при увеличении жёсткости) или $ k' = \frac{k}{n} $ (при уменьшении жёсткости).
Таким образом, можно рассчитать, как изменятся период и частота колебаний при изменении жёсткости пружины.
Пожауйста, оцените решение
